T3: Geometría · Rectas y planos — MATEMATICAS II PEvAU Andalucía 2025

Rectas y planos

Problema

2025 · Ordinaria · Titular

Considera el punto $P(1, 1, 1)$ y la recta $r$ :

r \equiv \frac{x - 1}{1} = \frac{y - 2}{2} = \frac{z - 3}{2}

a) Halla el plano que pasa por el punto $P$ y contiene a la recta $r$ . b) Halla la recta que pasa por el punto $P$ y corta perpendicularmente a la recta $r$ .

RectasPlanosPerpendicularidad

a) Halla el plano que pasa por el punto

P

y contiene a la recta

r

La recta $r \equiv rac{x - 1}{1} = rac{y - 2}{2} = rac{z - 3}{2}$ pasa por el punto $Q_r(1, 2, 3)$ y tiene como vector director $\vec{v}_r = (1, 2, 2)$ . El plano $\pi$ debe contener la recta $r$ y el punto $P(1, 1, 1)$ . Por lo tanto, el plano $\pi$ pasa por el punto $P$ (o por $Q_r$ ) y sus vectores directores serán $\vec{v}_r$ y el vector $\vec{PQ_r}$ .

\vec{PQ_r} = Q_r - P = (1 - 1, 2 - 1, 3 - 1) = (0, 1, 2)

Para obtener la ecuación general del plano $\pi$ , podemos utilizar el punto $P(1, 1, 1)$ y los vectores $\vec{v}_r = (1, 2, 2)$ y $\vec{PQ_r} = (0, 1, 2)$ . Un punto genérico $(x, y, z)$ en el plano formará un vector $\vec{PX} = (x-1, y-1, z-1)$ que será coplanario con $\vec{v}_r$ y $\vec{PQ_r}$ . Esto implica que el determinante de los tres vectores debe ser cero:

\begin{vmatrix} x-1 & y-1 & z-1 \\ 1 & 2 & 2 \\ 0 & 1 & 2 \end{vmatrix} = 0

Desarrollando el determinante:

(x-1)(2 \cdot 2 - 2 \cdot 1) - (y-1)(1 \cdot 2 - 2 \cdot 0) + (z-1)(1 \cdot 1 - 2 \cdot 0) = 0 \\
(x-1)(4 - 2) - (y-1)(2 - 0) + (z-1)(1 - 0) = 0 \\
2(x-1) - 2(y-1) + 1(z-1) = 0 \\
2x - 2 - 2y + 2 + z - 1 = 0 \\
2x - 2y + z - 1 = 0

La ecuación del plano es:

\pi: 2x - 2y + z - 1 = 0

b) Halla la recta que pasa por el punto

P

y corta perpendicularmente a la recta

r

Sea $s$ la recta que buscamos. Pasa por $P(1, 1, 1)$ y corta perpendicularmente a $r$ . Sea $M$ el punto de intersección de $s$ y $r$ . El vector director de $s$ será el vector $\vec{PM}$ . Dado que $s$ es perpendicular a $r$ , el vector $\vec{PM}$ debe ser perpendicular al vector director de $r$ , $\vec{v}_r = (1, 2, 2)$ . Esto significa que su producto escalar debe ser cero.Expresamos un punto genérico $M$ de la recta $r$ en forma paramétrica:

M(1 + \lambda, 2 + 2\lambda, 3 + 2\lambda)

Ahora, formamos el vector $\vec{PM}$ :

\vec{PM} = M - P = (1 + \lambda - 1, 2 + 2\lambda - 1, 3 + 2\lambda - 1) = (\lambda, 1 + 2\lambda, 2 + 2\lambda)

Como $\vec{PM}$ debe ser perpendicular a $\vec{v}_r$ , su producto escalar es cero:

\vec{PM} \cdot \vec{v}_r = 0 \\
(\lambda, 1 + 2\lambda, 2 + 2\lambda) \cdot (1, 2, 2) = 0 \\
\lambda(1) + (1 + 2\lambda)(2) + (2 + 2\lambda)(2) = 0 \\
\lambda + 2 + 4\lambda + 4 + 4\lambda = 0 \\
9\lambda + 6 = 0 \\
9\lambda = -6 \\
\lambda = -\frac{6}{9} = -\frac{2}{3}

Sustituyendo el valor de $\lambda$ en el vector $\vec{PM}$ para obtener el vector director de la recta $s$ :

\vec{v}_s = \vec{PM} = \left( -\frac{2}{3}, 1 + 2\left(-\frac{2}{3}\right), 2 + 2\left(-\frac{2}{3}\right) \right) \\
\vec{v}_s = \left( -\frac{2}{3}, 1 - \frac{4}{3}, 2 - \frac{4}{3} \right) \\
\vec{v}_s = \left( -\frac{2}{3}, -\frac{1}{3}, \frac{2}{3} \right)

Podemos usar un vector director proporcional multiplicando por $-3$ : $\vec{v}_s' = (2, 1, -2)$ . La recta $s$ pasa por $P(1, 1, 1)$ y tiene como vector director $\vec{v}_s' = (2, 1, -2)$ . Su ecuación continua es:

s \equiv \frac{x - 1}{2} = \frac{y - 1}{1} = \frac{z - 1}{-2}