T4: Funciones · Estudio de funciones — MATEMATICAS II PEvAU Andalucía 2022

Estudio de funciones

Problema

2022 · Extraordinaria · Suplente

Considera la función $f$ definida por $f(x) = \frac{x^4 - 3x^2 + 2}{(x + 2)^3}$ , para $x \neq -2$ .

a) Estudia y halla las asíntotas de la gráfica de

f

.b) Calcula la ecuación de la recta normal a la gráfica de

f

en el punto de abscisa

x = 0

AsíntotasRecta normalFunción racional

a) Estudia y halla las asíntotas de la gráfica de

f

Asíntotas Verticales (AV)

Las asíntotas verticales se encuentran en los valores de $x$ que anulan el denominador y no anulan el numerador.

(x + 2)^3 = 0 \implies x = -2

Evaluamos el numerador en $x = -2$ :

(-2)^4 - 3(-2)^2 + 2 = 16 - 3(4) + 2 = 16 - 12 + 2 = 6 \neq 0

Dado que el numerador no es cero, $x = -2$ es una asíntota vertical. Calculamos los límites laterales para estudiar el comportamiento de la función:

\lim_{x \to -2^-} \frac{x^4 - 3x^2 + 2}{(x + 2)^3} = \frac{6}{(0^-)^3} = \frac{6}{0^-} = -\infty

\lim_{x \to -2^+} \frac{x^4 - 3x^2 + 2}{(x + 2)^3} = \frac{6}{(0^+)^3} = \frac{6}{0^+} = +\infty

Por lo tanto, la función tiene una asíntota vertical en $x = -2$ .

Asíntotas Horizontales (AH)

Comparamos los grados del numerador y del denominador. El grado del numerador es 4 y el grado del denominador es 3. Dado que el grado del numerador es mayor que el grado del denominador, no existen asíntotas horizontales.

Asíntotas Oblicuas (AO)

Puesto que el grado del numerador es una unidad mayor que el grado del denominador, puede existir una asíntota oblicua de la forma $y = mx + n$ . Calculamos $m$ y $n$ :

m = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{x^4 - 3x^2 + 2}{x(x + 2)^3}

m = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{x^4 - 3x^2 + 2}{x(x^3 + 6x^2 + 12x + 8)} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{x^4 - 3x^2 + 2}{x^4 + 6x^3 + 12x^2 + 8x}

m = \frac{1}{1} = 1

n = \lim_{x \to \pm\infty} (f(x) - mx) = \lim_{x \to \pm\infty} \left( \frac{x^4 - 3x^2 + 2}{(x + 2)^3} - x \right)

n = \lim_{x \to \pm\infty} \left( \frac{x^4 - 3x^2 + 2 - x(x + 2)^3}{(x + 2)^3} \right)

Expandimos el término $x(x+2)^3$ :

x(x + 2)^3 = x(x^3 + 3 \cdot x^2 \cdot 2 + 3 \cdot x \cdot 2^2 + 2^3)

x(x + 2)^3 = x(x^3 + 6x^2 + 12x + 8) = x^4 + 6x^3 + 12x^2 + 8x

Sustituimos en la expresión para $n$ :

n = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{x^4 - 3x^2 + 2 - (x^4 + 6x^3 + 12x^2 + 8x)}{x^3 + 6x^2 + 12x + 8}

n = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{-6x^3 - 15x^2 - 8x + 2}{x^3 + 6x^2 + 12x + 8}

n = \frac{-6}{1} = -6

Por lo tanto, la función tiene una asíntota oblicua en $y = x - 6$ .

b) Calcula la ecuación de la recta normal a la gráfica de

f

en el punto de abscisa

x = 0

Primero, hallamos el punto de la gráfica en $x = 0$ :

f(0) = \frac{0^4 - 3(0)^2 + 2}{(0 + 2)^3} = \frac{2}{2^3} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}

El punto es $\left(0, \frac{1}{4}\right)$ .A continuación, calculamos la derivada de la función $f(x)$ para encontrar la pendiente de la recta tangente. Usamos la regla del cociente $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ .

u = x^4 - 3x^2 + 2 \implies u' = 4x^3 - 6x

v = (x + 2)^3 \implies v' = 3(x + 2)^2 \cdot 1

f'(x) = \frac{(4x^3 - 6x)(x + 2)^3 - (x^4 - 3x^2 + 2) \cdot 3(x + 2)^2}{((x + 2)^3)^2}

Simplificamos la expresión, factorizando $(x+2)^2$ en el numerador:

f'(x) = \frac{(x + 2)^2 \left[ (4x^3 - 6x)(x + 2) - 3(x^4 - 3x^2 + 2) \right]}{(x + 2)^6}

f'(x) = \frac{(4x^3 - 6x)(x + 2) - 3(x^4 - 3x^2 + 2)}{(x + 2)^4}

Evaluamos la derivada en $x = 0$ para obtener la pendiente de la recta tangente ( $m_t$ ):

f'(0) = \frac{(4(0)^3 - 6(0))(0 + 2) - 3((0)^4 - 3(0)^2 + 2)}{(0 + 2)^4}

f'(0) = \frac{(0)(2) - 3(2)}{2^4} = \frac{0 - 6}{16} = -\frac{6}{16} = -\frac{3}{8}

La pendiente de la recta tangente es $m_t = -\frac{3}{8}$ .La pendiente de la recta normal ( $m_n$ ) es el recíproco negativo de la pendiente de la tangente:

m_n = -\frac{1}{m_t} = -\frac{1}{-3/8} = \frac{8}{3}

Finalmente, usamos la ecuación punto-pendiente para hallar la ecuación de la recta normal:

y - y_0 = m_n(x - x_0)

y - \frac{1}{4} = \frac{8}{3}(x - 0)

y - \frac{1}{4} = \frac{8}{3}x

y = \frac{8}{3}x + \frac{1}{4}