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T4: Funciones
Análisis de funciones
Problema
2023 · Extraordinaria · Titular
2
Examen

Sea f:(0,+∞)→Rf : (0, +\infty) \rightarrow \mathbb{R} la función definida por f(x)=x(ln⁡(x))2f(x) = x (\ln(x))^2 (ln denota la función logaritmo neperiano).

a) Calcula, si existen, sus extremos relativos (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).b) Calcula, si existen, sus extremos absolutos (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).
Extremos relativosExtremos absolutosLogaritmo neperiano
Estudio de los extremos de la función $f(x) = x (\ln x)^2$
a) Calcula, si existen, sus extremos relativos (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).

Para hallar los extremos relativos, primero calculamos la derivada de la función f(x)=x(ln⁡x)2f(x) = x (\ln x)^2 utilizando la regla del producto y la regla de la cadena:

f′(x)=1⋅(ln⁡x)2+x⋅(2ln⁡x⋅1x)=(ln⁡x)2+2ln⁡xf'(x) = 1 \cdot (\ln x)^2 + x \cdot \left( 2 \ln x \cdot \frac{1}{x} \right) = (\ln x)^2 + 2 \ln x

Igualamos la derivada a cero para encontrar los puntos críticos en el dominio (0,+∞)(0, +\infty):

(ln⁡x)2+2ln⁡x=0  ⟹  ln⁡x(ln⁡x+2)=0(\ln x)^2 + 2 \ln x = 0 \implies \ln x (\ln x + 2) = 0

Esto nos da dos posibles soluciones:1. ln⁡x=0  ⟹  x=e0=1\ln x = 0 \implies x = e^0 = 1 2. ln⁡x+2=0  ⟹  ln⁡x=−2  ⟹  x=e−2=1e2\ln x + 2 = 0 \implies \ln x = -2 \implies x = e^{-2} = \frac{1}{e^2} Para clasificar estos puntos críticos, utilizamos el criterio de la segunda derivada:

f′′(x)=2ln⁡x⋅1x+2x=2x(ln⁡x+1)f''(x) = 2 \ln x \cdot \frac{1}{x} + \frac{2}{x} = \frac{2}{x}(\ln x + 1)

Evaluamos la segunda derivada en cada punto crítico:Para x=e−2x = e^{-2}: f′′(e−2)=2e−2(ln⁡e−2+1)=2e2(−2+1)=−2e2f''(e^{-2}) = \frac{2}{e^{-2}}(\ln e^{-2} + 1) = 2e^2(-2 + 1) = -2e^2. Al ser f′′(e−2)<0f''(e^{-2}) < 0, existe un máximo relativo en x=e−2x = e^{-2}. El valor que alcanza la función es f(e−2)=e−2(ln⁡e−2)2=e−2(−2)2=4e2f(e^{-2}) = e^{-2}(\ln e^{-2})^2 = e^{-2}(-2)^2 = \frac{4}{e^2}.Para x=1x = 1: f′′(1)=21(ln⁡1+1)=2(0+1)=2f''(1) = \frac{2}{1}(\ln 1 + 1) = 2(0 + 1) = 2. Al ser f′′(1)>0f''(1) > 0, existe un mínimo relativo en x=1x = 1. El valor que alcanza la función es f(1)=1(ln⁡1)2=0f(1) = 1(\ln 1)^2 = 0.

b) Calcula, si existen, sus extremos absolutos (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).

Para determinar los extremos absolutos, estudiamos el comportamiento de la función en los límites de su dominio (0,+∞)(0, +\infty):Calculamos el límite cuando x→0+x \to 0^+ (aplicando la regla de L'Hôpital):

lim⁡x→0+x(ln⁡x)2=lim⁡x→0+(ln⁡x)21/x=lim⁡x→0+2ln⁡x⋅(1/x)−1/x2=lim⁡x→0+2ln⁡x−1/x=lim⁡x→0+2/x1/x2=lim⁡x→0+2x=0\lim_{x \to 0^+} x (\ln x)^2 = \lim_{x \to 0^+} \frac{(\ln x)^2}{1/x} = \lim_{x \to 0^+} \frac{2\ln x \cdot (1/x)}{-1/x^2} = \lim_{x \to 0^+} \frac{2\ln x}{-1/x} = \lim_{x \to 0^+} \frac{2/x}{1/x^2} = \lim_{x \to 0^+} 2x = 0

Calculamos el límite cuando x→+∞x \to +\infty:

lim⁡x→+∞x(ln⁡x)2=+∞\lim_{x \to +\infty} x (\ln x)^2 = +\infty

Debido a que lim⁡x→+∞f(x)=+∞\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty, la función no tiene máximo absoluto.Respecto al mínimo absoluto, observamos que f(x)=x(ln⁡x)2≥0f(x) = x(\ln x)^2 \ge 0 para todo x∈(0,+∞)x \in (0, +\infty), ya que xx siempre es positivo en el dominio y el cuadrado del logaritmo es siempre no negativo. Como hemos hallado que f(1)=0f(1) = 0, concluimos que el mínimo absoluto se alcanza en x=1x = 1 y su valor es 00.