T4: Funciones · Optimización y propiedades de la derivada

Optimización y propiedades de la derivada

Problema

2021 · Ordinaria · Reserva

Halla $a, b$ y $c$ sabiendo que la función $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ dada por $f(x) = a + b \text{sen}(x) + c \text{sen}(2x)$ tiene un punto crítico en el punto de abscisa $x = \pi$ y la recta $y = -\frac{1}{2}x + 3$ es normal a la gráfica de $f$ en el punto de abscisa $x = 0$ .

Punto críticoRecta normalTrigonometría

Primero, hallamos la derivada de la función $f(x)$ :

f(x) = a + b \text{sen}(x) + c \text{sen}(2x)

f'(x) = b \cos(x) + c \cos(2x) \cdot 2 = b \cos(x) + 2c \cos(2x)

La función tiene un punto crítico en $x = \pi$ , lo que significa que $f'(\pi) = 0$ :

f'(\pi) = b \cos(\pi) + 2c \cos(2\pi) = 0

b(-1) + 2c(1) = 0

-b + 2c = 0 \implies b = 2c \quad (1)

La recta $y = -\frac{1}{2}x + 3$ es normal a la gráfica de $f$ en el punto de abscisa $x = 0$ . La pendiente de la recta normal es $m_N = -\frac{1}{2}$ . La pendiente de la recta tangente en $x = 0$ es la recíproca negativa de la pendiente de la normal:

m_T = f'(0) = -\frac{1}{m_N} = -\frac{1}{-1/2} = 2

Ahora, evaluamos $f'(0)$ :

f'(0) = b \cos(0) + 2c \cos(0) = 2

b(1) + 2c(1) = 2

b + 2c = 2 \quad (2)

Tenemos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas $b$ y $c$ . Sustituimos (1) en (2):

(2c) + 2c = 2

4c = 2 \implies c = \frac{1}{2}

Ahora, sustituimos el valor de $c$ en (1) para encontrar $b$ :

b = 2 \left(\frac{1}{2}\right) = 1

Para encontrar $a$ , utilizamos el hecho de que el punto en $x = 0$ de la función $f(x)$ también está en la recta normal. Evaluamos la recta normal en $x = 0$ :

y = -\frac{1}{2}(0) + 3 = 3

Por lo tanto, $f(0) = 3$ . Evaluamos $f(x)$ en $x = 0$ :

f(0) = a + b \text{sen}(0) + c \text{sen}(2 \cdot 0) = 3

a + b(0) + c(0) = 3

a = 3

Los valores de las constantes son:

a = 3, \quad b = 1, \quad c = \frac{1}{2}