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T3: Geometría
Geometría en el espacio
Problema
2024 · Extraordinaria · Suplente
7
Examen

Considera el plano π≡x−y=0\pi \equiv x - y = 0 y la recta r≡x−12=y3=z−2r \equiv \frac{x - 1}{2} = \frac{y}{3} = z - 2.

a) Calcula, si es posible, el plano perpendicular a π\pi que contiene a rr.b) Calcula, si es posible, la recta perpendicular a rr, contenida en π\pi y que pasa por el origen.
Rectas y planosPerpendicularidadGeometría analítica
Resolución del ejercicio de Geometría

Para resolver este ejercicio, primero extraemos los elementos característicos del plano π\pi y de la recta rr:

π≡x−y=0  ⟹  n⃗π=(1,−1,0)\pi \equiv x - y = 0 \implies \vec{n}_{\pi} = (1, -1, 0)
r≡x−12=y3=z−2  ⟹  Pr=(1,0,2),v⃗r=(2,3,1)r \equiv \frac{x - 1}{2} = \frac{y}{3} = z - 2 \implies P_r = (1, 0, 2), \quad \vec{v}_r = (2, 3, 1)
a) Calcula, si es posible, el plano perpendicular a π\pi que contiene a rr.

Llamamos π′\pi' al plano buscado. Para que π′\pi' contenga a rr, debe pasar por el punto Pr(1,0,2)P_r(1, 0, 2) y tener como dirección el vector v⃗r(2,3,1)\vec{v}_r(2, 3, 1). Al ser perpendicular a π\pi, el vector normal de π\pi, n⃗π(1,−1,0)\vec{n}_{\pi}(1, -1, 0), será también una dirección de π′\pi'.Comprobamos que v⃗r\vec{v}_r y n⃗π\vec{n}_{\pi} no son proporcionales, por lo que el plano existe. Su ecuación se obtiene mediante el determinante:

∣x−1yz−22311−10∣=0\begin{vmatrix} x - 1 & y & z - 2 \\ 2 & 3 & 1 \\ 1 & -1 & 0 \end{vmatrix} = 0

Desarrollando el determinante por la primera fila:

(x−1)(0+1)−y(0−1)+(z−2)(−2−3)=0(x - 1)(0 + 1) - y(0 - 1) + (z - 2)(-2 - 3) = 0
(x−1)+y−5(z−2)=0  ⟹  x+y−5z+9=0(x - 1) + y - 5(z - 2) = 0 \implies x + y - 5z + 9 = 0
b) Calcula, si es posible, la recta perpendicular a rr, contenida en π\pi y que pasa por el origen.

Llamamos ss a la recta buscada. Para que ss esté contenida en π\pi, el punto por el que pasa debe pertenecer a π\pi. Comprobamos si el origen O(0,0,0)O(0, 0, 0) pertenece al plano:

0−0=0  ⟹  O∈π0 - 0 = 0 \implies O \in \pi

El vector director de la recta ss, v⃗s\vec{v}_s, debe ser perpendicular al vector director de rr (v⃗s⊥v⃗r\vec{v}_s \perp \vec{v}_r) y también perpendicular al vector normal del plano π\pi (v⃗s⊥n⃗π\vec{v}_s \perp \vec{n}_{\pi}) para estar contenida en él. Por tanto, v⃗s\vec{v}_s se puede calcular como el producto vectorial de ambos:

v⃗s=v⃗r×n⃗π=∣i⃗j⃗k⃗2311−10∣=(0+1)i⃗−(0−1)j⃗+(−2−3)k⃗=(1,1,−5)\vec{v}_s = \vec{v}_r \times \vec{n}_{\pi} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 2 & 3 & 1 \\ 1 & -1 & 0 \end{vmatrix} = (0 + 1)\vec{i} - (0 - 1)\vec{j} + (-2 - 3)\vec{k} = (1, 1, -5)

Con el punto O(0,0,0)O(0, 0, 0) y el vector director v⃗s(1,1,−5)\vec{v}_s(1, 1, -5), la ecuación de la recta ss en forma continua es:

s≡x1=y1=z−5s \equiv \frac{x}{1} = \frac{y}{1} = \frac{z}{-5}