T5: Probabilidad · Probabilidad total y Bayes — MATEMATICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II PEvAU Andalucía 2023

Probabilidad total y Bayes

Problema

2023 · Ordinaria · Reserva

BLOQUE C

Una empresa de transporte dispone de tres tipos de camiones, $A$ , $B$ y $C$ . El $30 \%$ de los transportes son realizados por camiones de tipo $A$ ; el $20 \ \%$ por camiones de tipo $B$ y el resto por camiones de tipo $C$ . Se sabe que los transportes tienen una probabilidad de $0.02$ de sufrir algún tipo de incidencia si son realizados en camiones de tipo $A$ ; de $0.01$ si son realizados en camiones de tipo $B$ y de $0.05$ si son realizados en camiones de tipo $C$ . Se elige un transporte de esta empresa al azar.

a) Calcule la probabilidad de que no haya sufrido ningún tipo de incidencia.b) Calcule la probabilidad de que lo haya realizado un camión de tipo

C

si se sabe que sufrió algún tipo de incidencia.c) Si además se conoce que el

40 \ \%

de las incidencias sufridas por los camiones de tipo

A

fueron debidas a la lluvia, calcule la probabilidad de que el transporte haya sido realizado por un camión de tipo

A

, haya sufrido una incidencia y también esta sea debida a la lluvia.

ProbabilidadTeorema de BayesProbabilidad total

Definimos los siguientes sucesos: $A$ : El transporte es realizado por un camión de tipo $A$ . $B$ : El transporte es realizado por un camión de tipo $B$ . $C$ : El transporte es realizado por un camión de tipo $C$ . $I$ : El transporte sufrió algún tipo de incidencia.Los datos de probabilidad que nos proporciona el problema son:

P(A) = 0.30

P(B) = 0.20

Calculamos la probabilidad de que el transporte sea realizado por un camión de tipo $C$ :

P(C) = 1 - P(A) - P(B) = 1 - 0.30 - 0.20 = 0.50

P(I|A) = 0.02

P(I|B) = 0.01

P(I|C) = 0.05

a) Calcule la probabilidad de que no haya sufrido ningún tipo de incidencia.

Primero calculamos la probabilidad total de que el transporte haya sufrido algún tipo de incidencia, $P(I)$ , usando el Teorema de la Probabilidad Total:

P(I) = P(I|A)P(A) + P(I|B)P(B) + P(I|C)P(C)

P(I) = (0.02)(0.30) + (0.01)(0.20) + (0.05)(0.50)

P(I) = 0.006 + 0.002 + 0.025

P(I) = 0.033

La probabilidad de que no haya sufrido ningún tipo de incidencia es $P(\bar{I}) = 1 - P(I)$ :

P(\bar{I}) = 1 - 0.033 = 0.967

b) Calcule la probabilidad de que lo haya realizado un camión de tipo

C

si se sabe que sufrió algún tipo de incidencia.

Esta es una probabilidad condicionada, $P(C|I)$ , y se calcula utilizando el Teorema de Bayes:

P(C|I) = \frac{P(I|C)P(C)}{P(I)}

P(C|I) = \frac{(0.05)(0.50)}{0.033}

P(C|I) = \frac{0.025}{0.033}

P(C|I) \approx 0.7576

c) Si además se conoce que el

40 \ \%

de las incidencias sufridas por los camiones de tipo

A

fueron debidas a la lluvia, calcule la probabilidad de que el transporte haya sido realizado por un camión de tipo

A

, haya sufrido una incidencia y también esta sea debida a la lluvia.

Definimos un nuevo suceso: $L$ : La incidencia fue debida a la lluvia.Se nos da la probabilidad condicional $P(L|I \cap A) = 0.40$ (el $40 \ \%$ de las incidencias de tipo $A$ son por lluvia). Queremos calcular $P(A \cap I \cap L)$ .Usamos la definición de probabilidad condicional: $P(L|I \cap A) = \frac{P(A \cap I \cap L)}{P(A \cap I)}$ .De donde despejamos $P(A \cap I \cap L) = P(L|I \cap A) \cdot P(A \cap I)$ .Primero calculamos $P(A \cap I)$ , la probabilidad de que sea un camión de tipo $A$ y haya sufrido una incidencia:

P(A \cap I) = P(I|A)P(A)

P(A \cap I) = (0.02)(0.30) = 0.006

Ahora podemos calcular $P(A \cap I \cap L)$ :

P(A \cap I \cap L) = P(L|I \cap A) \cdot P(A \cap I)

P(A \cap I \cap L) = 0.40 \cdot 0.006

P(A \cap I \cap L) = 0.0024