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T5: Física moderna
Dualidad onda-corpúsculo
Problema
2022 · Ordinaria · Suplente
D1-b
Examen
b) Calcule en los dos casos siguientes la diferencia de potencial con que debe ser acelerado un protón que parte del reposo para que i) el momento lineal del protón sea 10−21 kg⋅m⋅s−110^{-21} \text{ kg} \cdot \text{m} \cdot \text{s}^{-1}; ii) la longitud de onda de De Broglie asociada al protón sea 5⋅10−13 m5 \cdot 10^{-13} \text{ m}.

Datos: mp=1,67⋅10−27 kg;e=1,6⋅10−19 C;h=6,63⋅10−34 J⋅sm_p = 1,67 \cdot 10^{-27} \text{ kg}; e = 1,6 \cdot 10^{-19} \text{ C}; h = 6,63 \cdot 10^{-34} \text{ J} \cdot \text{s}

Momento linealHipótesis de De BroglieDiferencia de potencial
b) Calcule en los dos casos siguientes la diferencia de potencial con que debe ser acelerado un protón que parte del reposo.

La energía cinética que adquiere un protón al ser acelerado por una diferencia de potencial ΔV\Delta V es:

Ec=qΔVE_c = q \Delta V

Donde qq es la carga del protón (ee) y ΔV\Delta V es la diferencia de potencial. Además, la energía cinética también puede expresarse en función del momento lineal pp y la masa mm como:

Ec=12mv2E_c = \frac{1}{2}mv^2

Y el momento lineal es p=mvp = mv. Despejando la velocidad v=p/mv = p/m y sustituyendo en la expresión de la energía cinética:

Ec=12m(pm)2=p22mE_c = \frac{1}{2}m\left(\frac{p}{m}\right)^2 = \frac{p^2}{2m}

Igualando las dos expresiones de la energía cinética, obtenemos la relación entre la diferencia de potencial y el momento lineal:

qΔV=p22m⇒ΔV=p22mqq \Delta V = \frac{p^2}{2m} \quad \Rightarrow \quad \Delta V = \frac{p^2}{2mq}
i) El momento lineal del protón sea 10−21 kg⋅m⋅s−110^{-21} \text{ kg} \cdot \text{m} \cdot \text{s}^{-1}.

Usamos la expresión derivada anteriormente con los datos proporcionados:

ΔV=(10−21 kg⋅m⋅s−1)22(1,67⋅10−27 kg)(1,6⋅10−19 C)\Delta V = \frac{(10^{-21} \text{ kg} \cdot \text{m} \cdot \text{s}^{-1})^2}{2(1,67 \cdot 10^{-27} \text{ kg})(1,6 \cdot 10^{-19} \text{ C})}
ΔV=10−422(1,67⋅10−27)(1,6⋅10−19) V\Delta V = \frac{10^{-42}}{2(1,67 \cdot 10^{-27})(1,6 \cdot 10^{-19})} \text{ V}
ΔV=10−425,344⋅10−46 V\Delta V = \frac{10^{-42}}{5,344 \cdot 10^{-46}} \text{ V}
ΔV≈187114,52 V\Delta V \approx 187114,52 \text{ V}
ΔV≈1,87⋅105 V\Delta V \approx 1,87 \cdot 10^5 \text{ V}
ii) La longitud de onda de De Broglie asociada al protón sea 5⋅10−13 m5 \cdot 10^{-13} \text{ m}.

La longitud de onda de De Broglie λ\lambda está relacionada con el momento lineal pp por la fórmula:

λ=hp\lambda = \frac{h}{p}

Donde hh es la constante de Planck. Despejamos el momento lineal pp:

p=hλp = \frac{h}{\lambda}

Ahora sustituimos esta expresión de pp en la fórmula para ΔV\Delta V obtenida en la primera parte:

ΔV=(hλ)22mq=h22mqλ2\Delta V = \frac{\left(\frac{h}{\lambda}\right)^2}{2mq} = \frac{h^2}{2mq\lambda^2}

Sustituimos los valores numéricos:

ΔV=(6,63⋅10−34 J⋅s)22(1,67⋅10−27 kg)(1,6⋅10−19 C)(5⋅10−13 m)2\Delta V = \frac{(6,63 \cdot 10^{-34} \text{ J} \cdot \text{s})^2}{2(1,67 \cdot 10^{-27} \text{ kg})(1,6 \cdot 10^{-19} \text{ C})(5 \cdot 10^{-13} \text{ m})^2}
ΔV=(6,63)2⋅10−682(1,67⋅10−27)(1,6⋅10−19)(25⋅10−26) V\Delta V = \frac{(6,63)^2 \cdot 10^{-68}}{2(1,67 \cdot 10^{-27})(1,6 \cdot 10^{-19})(25 \cdot 10^{-26})} \text{ V}
ΔV=43,9569⋅10−682(1,67)(1,6)(25)⋅10−27−19−26 V\Delta V = \frac{43,9569 \cdot 10^{-68}}{2(1,67)(1,6)(25) \cdot 10^{-27-19-26}} \text{ V}
ΔV=43,9569⋅10−68133,6⋅10−72 V\Delta V = \frac{43,9569 \cdot 10^{-68}}{133,6 \cdot 10^{-72}} \text{ V}
ΔV≈0,3289⋅104 V\Delta V \approx 0,3289 \cdot 10^{4} \text{ V}
ΔV≈3289 V\Delta V \approx 3289 \text{ V}
ΔV≈3,29⋅103 V\Delta V \approx 3,29 \cdot 10^3 \text{ V}