T1: Interacción gravitatoria

Órbitas de satélites

Problema

2021 · Ordinaria · Reserva

A.2-b

b) Se pretende poner en órbita un satélite artificial que diariamente dará 10 vueltas a la Tierra. i) ¿A qué altura sobre la superficie terrestre se situará? ii) ¿Cuál será la velocidad del satélite?

$G = 6,67 \cdot 10^{-11} \text{ N} \cdot \text{m}^2 \cdot \text{kg}^{-2}; M_T = 5,98 \cdot 10^{24} \text{ kg}; R_T = 6370 \text{ km}$

Satélite artificialAlturaVelocidad orbital

b) El satélite da 10 vueltas en un día, por lo que su período orbital

T

es:

T = \frac{1 \text{ día}}{10 \text{ vueltas}} = \frac{24 \text{ h} \cdot 3600 \text{ s/h}}{10} = \frac{86400 \text{ s}}{10} = 8640 \text{ s}

i) Para determinar la altura sobre la superficie terrestre, primero calculamos el radio de la órbita

R

. La fuerza gravitatoria proporciona la fuerza centrípeta necesaria para mantener el satélite en órbita. Por tanto:

F_g = F_c \Rightarrow G \frac{M_T m}{R^2} = m \frac{v^2}{R}

Además, la velocidad orbital $v$ se puede expresar en términos del período $T$ y el radio de la órbita $R$ como:

v = \frac{2\pi R}{T}

Sustituyendo la expresión de $v$ en la ecuación de fuerzas e igualando, obtenemos:

G \frac{M_T}{R^2} = \frac{(2\pi R/T)^2}{R} \Rightarrow G \frac{M_T}{R^2} = \frac{4\pi^2 R^2}{R T^2} \Rightarrow G \frac{M_T}{R^2} = \frac{4\pi^2 R}{T^2}

Despejando $R^3$ :

R^3 = \frac{G M_T T^2}{4\pi^2}

Sustituimos los valores conocidos:

R^3 = \frac{(6,67 \cdot 10^{-11} \text{ N} \cdot \text{m}^2 \cdot \text{kg}^{-2}) \cdot (5,98 \cdot 10^{24} \text{ kg}) \cdot (8640 \text{ s})^2}{4\pi^2}

R^3 = \frac{(3,98866 \cdot 10^{14}) \cdot (7,46496 \cdot 10^7)}{39,4784} \text{ m}^3

R^3 = 7,542 \cdot 10^{20} \text{ m}^3

R = (7,542 \cdot 10^{20})^{1/3} \text{ m} = 9,100 \cdot 10^6 \text{ m}

La altura $h$ sobre la superficie terrestre es la diferencia entre el radio de la órbita y el radio de la Tierra ( $R_T = 6370 \text{ km} = 6,37 \cdot 10^6 \text{ m}$ ):

h = R - R_T = 9,100 \cdot 10^6 \text{ m} - 6,37 \cdot 10^6 \text{ m} = 2,730 \cdot 10^6 \text{ m}

Expresado en kilómetros:

h = 2730 \text{ km}

ii) La velocidad del satélite

v

se calcula usando la expresión de la velocidad orbital:

v = \frac{2\pi R}{T}

Sustituyendo los valores de $R$ y $T$ :

v = \frac{2\pi (9,100 \cdot 10^6 \text{ m})}{8640 \text{ s}}

v = 6617,6 \text{ m/s}