T6: Teoría de muestras · Inferencia estadística — MATEMATICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II PEvAU Andalucía 2020

Inferencia estadística

Problema

2020 · Ordinaria · Suplente

Se sabe que la longitud, en centímetros, de una especie de estrella de mar en una determinada zona sigue una ley Normal con desviación típica 3. Para estimar la longitud media de esa especie de estrella de mar, se extrae una muestra de tamaño 36 y se obtiene el intervalo de confianza (6.04, 8) al 95 %. Se pide:

a) Calcule la media muestral.b) Calcule el error de estimación máximo cometido.c) Si aumentamos el tamaño muestral a 49, ¿qué efecto produce sobre el error máximo cometido? Calcule este error.d) Si aumentamos el nivel de confianza, ¿qué efecto produce sobre el error de estimación máximo? Justifique la respuesta.

Media muestralError de estimaciónIntervalo de confianza

a) Calcule la media muestral.

El intervalo de confianza para la media poblacional ( $\mu$ ) se calcula como $(\bar{x} - E, \bar{x} + E)$ , donde $\bar{x}$ es la media muestral y $E$ es el error máximo de estimación. La media muestral es el punto medio del intervalo de confianza.

\bar{x} = \frac{\text{Límite inferior} + \text{Límite superior}}{2}

\bar{x} = \frac{6.04 + 8}{2} = \frac{14.04}{2} = 7.02

La media muestral es $7.02 \text{ cm}$ .

b) Calcule el error de estimación máximo cometido.

El error máximo de estimación ( $E$ ) es la mitad de la amplitud del intervalo de confianza, o la diferencia entre la media muestral y uno de los límites del intervalo.

E = \frac{\text{Límite superior} - \text{Límite inferior}}{2}

E = \frac{8 - 6.04}{2} = \frac{1.96}{2} = 0.98

También se puede calcular como $E = \text{Límite superior} - \bar{x} = 8 - 7.02 = 0.98$ .El error de estimación máximo cometido es $0.98 \text{ cm}$ .

c) Si aumentamos el tamaño muestral a 49, ¿qué efecto produce sobre el error máximo cometido? Calcule este error.

La fórmula del error máximo de estimación es $E = Z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$ . Al aumentar el tamaño muestral ( $n$ ), el denominador $\sqrt{n}$ aumenta, lo que provoca que el error $E$ disminuya.Para el nivel de confianza del 95%, $\alpha = 0.05$ , lo que implica que $\alpha/2 = 0.025$ . El valor crítico de $Z$ para este nivel de confianza es $Z_{0.025} = 1.96$ .Datos: $\sigma = 3$ $Z_{\alpha/2} = 1.96$ Nuevo tamaño muestral $n' = 49$

E' = Z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n'}}

E' = 1.96 \cdot \frac{3}{\sqrt{49}}

E' = 1.96 \cdot \frac{3}{7}

E' = 1.96 \cdot 0.42857 \dots \approx 0.84

El nuevo error máximo cometido es $0.84 \text{ cm}$ . Se observa una disminución del error máximo de estimación.

d) Si aumentamos el nivel de confianza, ¿qué efecto produce sobre el error de estimación máximo? Justifique la respuesta.

Si aumentamos el nivel de confianza (por ejemplo, del 95% al 99%), el valor crítico $Z_{\alpha/2}$ también aumenta. Para el 99% de confianza, $Z_{\alpha/2} = 2.575$ , que es mayor que $1.96$ para el 95%.Dado que el error de estimación máximo se calcula como $E = Z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$ , y al aumentar el nivel de confianza, $Z_{\alpha/2}$ aumenta (mientras $\sigma$ y $n$ se mantienen constantes), el error máximo de estimación $E$ aumentará.Justificación: Para tener una mayor confianza de que el intervalo contiene la verdadera media poblacional, necesitamos un intervalo más amplio. Un intervalo más amplio implica un mayor error de estimación.