T2: Sistemas de ecuaciones lineales

Discusión de sistemas con parámetros

Problema

2021 · Ordinaria · Reserva

Considera el sistema de ecuaciones

\begin{cases} x + y + 2z = 0 \\ 3x - y - 2z = 0 \\ -x + 2y + mz = 0 \end{cases}

a) Calcula

m

para que el sistema tenga infinitas soluciones y hállalas.b) Para

m = 2

, ¿existe alguna solución tal que

z = 1

? En caso afirmativo, calcúlala. En caso negativo, justifica la respuesta.

Sistema homogéneoInfinitas solucionesRango de una matriz

a) Calcula

m

para que el sistema tenga infinitas soluciones y hállalas.

Para que un sistema homogéneo tenga infinitas soluciones, el determinante de la matriz de coeficientes debe ser nulo. La matriz de coeficientes es:

A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 3 & -1 & -2 \\ -1 & 2 & m \end{pmatrix}

Calculamos el determinante de $A$ :

\det(A) = 1((-1)(m) - (-2)(2)) - 1((3)(m) - (-2)(-1)) + 2((3)(2) - (-1)(-1)) \\ \det(A) = 1(-m + 4) - 1(3m - 2) + 2(6 - 1) \\ \det(A) = -m + 4 - 3m + 2 + 10 \\ \det(A) = -4m + 16

Igualamos el determinante a cero para encontrar el valor de $m$ que da infinitas soluciones:

-4m + 16 = 0 \\ 4m = 16 \\ m = 4

Para $m=4$ , el sistema tiene infinitas soluciones. Sustituimos $m=4$ en el sistema y lo resolvemos:

\begin{cases} x + y + 2z = 0 \\ 3x - y - 2z = 0 \\ -x + 2y + 4z = 0 \end{cases}

Aplicamos el método de Gauss a la matriz ampliada:

\begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 & | & 0 \\ 3 & -1 & -2 & | & 0 \\ -1 & 2 & 4 & | & 0 \end{pmatrix} \xrightarrow{R_2 \leftarrow R_2 - 3R_1 \atop R_3 \leftarrow R_3 + R_1} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 & | & 0 \\ 0 & -4 & -8 & | & 0 \\ 0 & 3 & 6 & | & 0 \end{pmatrix}

\xrightarrow{R_2 \leftarrow -1/4 R_2 \atop R_3 \leftarrow 1/3 R_3} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 & | & 0 \\ 0 & 1 & 2 & | & 0 \\ 0 & 1 & 2 & | & 0 \end{pmatrix} \xrightarrow{R_3 \leftarrow R_3 - R_2} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 & | & 0 \\ 0 & 1 & 2 & | & 0 \\ 0 & 0 & 0 & | & 0 \end{pmatrix}

De la segunda ecuación, obtenemos:

y + 2z = 0 \implies y = -2z

Sustituimos $y$ en la primera ecuación:

x + (-2z) + 2z = 0 \implies x = 0

Las soluciones son de la forma $(0, -2z, z)$ . Podemos expresar $z$ como un parámetro $\lambda \in \mathbb{R}$ .

(x, y, z) = (0, -2\lambda, \lambda)

b) Para

m = 2

, ¿existe alguna solución tal que

z = 1

? En caso afirmativo, calcúlala. En caso negativo, justifica la respuesta.

Para $m=2$ , calculamos el determinante de la matriz de coeficientes:

\det(A) = -4(2) + 16 = -8 + 16 = 8

Dado que $\det(A) = 8 \neq 0$ , el sistema para $m=2$ es un sistema compatible determinado. Al ser un sistema homogéneo (todos los términos independientes son cero), la única solución posible es la solución trivial.

(x, y, z) = (0, 0, 0)

Por lo tanto, no existe ninguna solución para $m=2$ tal que $z=1$ , ya que la única solución posible es aquella en la que $z=0$ .