Consideramos el plano π ≡ x + y + z = 0 \pi \equiv x + y + z = 0 π ≡ x + y + z = 0 y la recta r ≡ x − 1 = r a c y 2 = r a c z + 1 2 r \equiv x - 1 = rac{y}{2} = rac{z + 1}{2} r ≡ x − 1 = r a c y 2 = r a c z + 1 2 .
a) Determinar la ecuación general del plano π ′ \pi' π ′ paralelo a π \pi π . Dado que el plano π ′ \pi' π ′ es paralelo al plano π ≡ x + y + z = 0 \pi \equiv x + y + z = 0 π ≡ x + y + z = 0 , ambos planos tendrán el mismo vector normal n ⃗ = ( 1 , 1 , 1 ) \vec{n} = (1, 1, 1) n = ( 1 , 1 , 1 ) . Por lo tanto, la ecuación general de π ′ \pi' π ′ será de la forma:
π ′ ≡ x + y + z + D = 0 \pi' \equiv x + y + z + D = 0 π ′ ≡ x + y + z + D = 0 b) Hallar el punto de corte Q Q Q de la recta r r r con el plano π \pi π . Primero, expresamos la recta r r r en su forma paramétrica. A partir de x − 1 = r a c y 2 = r a c z + 1 2 x - 1 = rac{y}{2} = rac{z + 1}{2} x − 1 = r a c y 2 = r a c z + 1 2 , igualamos cada expresión a un parámetro λ \lambda λ :
x − 1 = λ ⟹ x = 1 + λ r a c y 2 = λ ⟹ y = 2 λ r a c z + 1 2 = λ ⟹ z = − 1 + 2 λ \begin{gathered}
x - 1 = \lambda \implies x = 1 + \lambda \\ rac{y}{2} = \lambda \implies y = 2\lambda \\ rac{z + 1}{2} = \lambda \implies z = -1 + 2\lambda
\end{gathered} x − 1 = λ ⟹ x = 1 + λ r a c y 2 = λ ⟹ y = 2 λ r a c z + 1 2 = λ ⟹ z = − 1 + 2 λ Ahora, sustituimos estas expresiones paramétricas en la ecuación del plano π ≡ x + y + z = 0 \pi \equiv x + y + z = 0 π ≡ x + y + z = 0 para encontrar el valor de λ \lambda λ para el punto Q Q Q :
(1 + \lambda) + (2\lambda) + (-1 + 2\lambda) = 0 \ 1 + \lambda + 2\lambda - 1 + 2\lambda = 0 \ 5\lambda = 0 \ \lambda_Q = 0
Sustituimos λ Q = 0 \lambda_Q = 0 λ Q = 0 en las ecuaciones paramétricas de r r r para obtener las coordenadas de Q Q Q :
Q = ( 1 + 0 , 2 ⋅ 0 , − 1 + 2 ⋅ 0 ) = ( 1 , 0 , − 1 ) Q = (1 + 0, 2 \cdot 0, -1 + 2 \cdot 0) = (1, 0, -1) Q = ( 1 + 0 , 2 ⋅ 0 , − 1 + 2 ⋅ 0 ) = ( 1 , 0 , − 1 ) c) Hallar el punto de corte Q ′ Q' Q ′ de la recta r r r con el plano π ′ \pi' π ′ en función de D D D . Sustituimos las expresiones paramétricas de r r r en la ecuación del plano π ′ ≡ x + y + z + D = 0 \pi' \equiv x + y + z + D = 0 π ′ ≡ x + y + z + D = 0 :
(1 + \lambda) + (2\lambda) + (-1 + 2\lambda) + D = 0 \ 1 + \lambda + 2\lambda - 1 + 2\lambda + D = 0 \ 5\lambda + D = 0 \ \lambda_{Q'} = -rac{D}{5}
Sustituimos λ Q ′ = − r a c D 5 \lambda_{Q'} = -rac{D}{5} λ Q ′ = − r a c D 5 en las ecuaciones paramétricas de r r r para obtener las coordenadas de Q ′ Q' Q ′ :
Q ′ = ( 1 − r a c D 5 , 2 ( − r a c D 5 ) , − 1 + 2 ( − r a c D 5 ) ) = ( 1 − r a c D 5 , − r a c 2 D 5 , − 1 − r a c 2 D 5 ) Q' = \left(1 - rac{D}{5}, 2\left(-rac{D}{5}\right), -1 + 2\left(-rac{D}{5}\right)\right) = \left(1 - rac{D}{5}, -rac{2D}{5}, -1 - rac{2D}{5}\right) Q ′ = ( 1 − r a c D 5 , 2 ( − r a c D 5 ) , − 1 + 2 ( − r a c D 5 ) ) = ( 1 − r a c D 5 , − r a c 2 D 5 , − 1 − r a c 2 D 5 ) d) Calcular el valor de D D D tal que la distancia entre Q Q Q y Q ′ Q' Q ′ sea de 2 2 2 unidades y escribir la ecuación de π ′ \pi' π ′ . Calculamos el vector Q Q ′ ⃗ \vec{QQ'} Q Q ′ :
Q Q ′ ⃗ = Q ′ − Q = ( 1 − r a c D 5 − 1 , − r a c 2 D 5 − 0 , − 1 − r a c 2 D 5 − ( − 1 ) ) = ( − r a c D 5 , − r a c 2 D 5 , − r a c 2 D 5 ) \vec{QQ'} = Q' - Q = \left(1 - rac{D}{5} - 1, -rac{2D}{5} - 0, -1 - rac{2D}{5} - (-1)\right) = \left(-rac{D}{5}, -rac{2D}{5}, -rac{2D}{5}\right) Q Q ′ = Q ′ − Q = ( 1 − r a c D 5 − 1 , − r a c 2 D 5 − 0 , − 1 − r a c 2 D 5 − ( − 1 ) ) = ( − r a c D 5 , − r a c 2 D 5 , − r a c 2 D 5 ) La distancia entre Q Q Q y Q ′ Q' Q ′ es el módulo de este vector:
d ( Q , Q ′ ) = ∣ ∣ Q Q ′ ⃗ ∣ ∣ = ( − r a c D 5 ) 2 + ( − r a c 2 D 5 ) 2 + ( − r a c 2 D 5 ) 2 d ( Q , Q ′ ) = r a c D 2 25 + r a c 4 D 2 25 + r a c 4 D 2 25 = r a c 9 D 2 25 = r a c 9 D 2 25 = r a c 3 ∣ D ∣ 5 \begin{gathered}
d(Q, Q') = ||\vec{QQ'}|| = \sqrt{\left(-rac{D}{5}\right)^2 + \left(-rac{2D}{5}\right)^2 + \left(-rac{2D}{5}\right)^2} \\ d(Q, Q') = \sqrt{rac{D^2}{25} + rac{4D^2}{25} + rac{4D^2}{25}} = \sqrt{rac{9D^2}{25}} = rac{\sqrt{9D^2}}{\sqrt{25}} = rac{3|D|}{5}
\end{gathered} d ( Q , Q ′ ) = ∣∣ Q Q ′ ∣∣ = ( − r a c D 5 ) 2 + ( − r a c 2 D 5 ) 2 + ( − r a c 2 D 5 ) 2 d ( Q , Q ′ ) = r a c D 2 25 + r a c 4 D 2 25 + r a c 4 D 2 25 = r a c 9 D 2 25 = r a c 9 D 2 25 = r a c 3∣ D ∣ 5 Según el enunciado, la distancia debe ser de 2 2 2 unidades:
r a c 3 ∣ D ∣ 5 = 2 3 ∣ D ∣ = 10 ∣ D ∣ = r a c 103 \begin{gathered}
rac{3|D|}{5} = 2 \\ 3|D| = 10 \\ |D| = rac{10}{3}
\end{gathered} r a c 3∣ D ∣ 5 = 2 3∣ D ∣ = 10 ∣ D ∣ = r a c 10 3 Esto nos da dos posibles valores para D D D : D = r a c 103 D = rac{10}{3} D = r a c 10 3 o D = − r a c 103 D = -rac{10}{3} D = − r a c 10 3 . Por lo tanto, existen dos planos π ′ \pi' π ′ que cumplen la condición:
e x t S i D = r a c 103 ⟹ π 1 ′ ≡ x + y + z + r a c 103 = 0 ⟹ 3 x + 3 y + 3 z + 10 = 0 Si D = − r a c 103 ⟹ π 2 ′ ≡ x + y + z − r a c 103 = 0 ⟹ 3 x + 3 y + 3 z − 10 = 0 \begin{gathered}
ext{Si } D = rac{10}{3} \implies \pi'_1 \equiv x + y + z + rac{10}{3} = 0 \implies 3x + 3y + 3z + 10 = 0 \\ \text{Si } D = -rac{10}{3} \implies \pi'_2 \equiv x + y + z - rac{10}{3} = 0 \implies 3x + 3y + 3z - 10 = 0
\end{gathered} e x t S i D = r a c 10 3 ⟹ π 1 ′ ≡ x + y + z + r a c 10 3 = 0 ⟹ 3 x + 3 y + 3 z + 10 = 0 Si D = − r a c 10 3 ⟹ π 2 ′ ≡ x + y + z − r a c 10 3 = 0 ⟹ 3 x + 3 y + 3 z − 10 = 0 
