La recta $s$ viene dada en su forma paramétrica:

De esta ecuación, podemos obtener un vector director de la recta $s$, que es $\vec{v}_s = (-2, 1, 2)$. Si un plano $\pi_1$ es perpendicular a la recta $s$, entonces el vector director de la recta es el vector normal del plano, es decir, $\vec{n}_{\pi_1} = \vec{v}_s = (-2, 1, 2)$. La ecuación general de un plano es $Ax + By + Cz + D = 0$. Utilizando el vector normal, la ecuación del plano $\pi_1$ será:

Dado que el plano pasa por el punto $P(1, 0, -5)$, podemos sustituir las coordenadas de este punto en la ecuación del plano para hallar el valor de $D$:

Por lo tanto, la ecuación del plano perpendicular a $s$ que pasa por $P$ es:

Primero, necesitamos encontrar un vector director de la recta $r$. La recta $r$ viene dada como la intersección de dos planos:

Los vectores normales de estos dos planos son $\vec{n}_1 = (2, -3, 1)$ y $\vec{n}_2 = (-3, 2, 2)$. El vector director de la recta $r$ es el producto vectorial de estos dos vectores normales:

El plano dado es $\pi \equiv -2x + y + 2z = 0$. Su vector normal es $\vec{n}_\pi = (-2, 1, 2)$. El seno del ángulo $\alpha$ que forma una recta con vector director $\vec{v}$ y un plano con vector normal $\vec{n}$ se calcula mediante la fórmula:

Calculamos el producto escalar $\vec{v}_r \cdot \vec{n}_\pi$:

Calculamos las magnitudes de los vectores $\vec{v}_r$ y $\vec{n}_\pi$:

Finalmente, sustituimos estos valores en la fórmula del seno del ángulo:

Para racionalizar el resultado, multiplicamos el numerador y el denominador por $\sqrt{138}$: