T6: Teoría de muestras · Estimación de proporciones — MATEMATICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II PEvAU Andalucía 2022

Estimación de proporciones

Problema

2022 · Extraordinaria · Suplente

Se desea estimar la proporción de jóvenes de una localidad que están suscritos a una determinada plataforma de televisión. Para ello, se toma una muestra aleatoria de 100 jóvenes de los que 36 afirman estar suscritos a dicha plataforma.

a) Determine un intervalo de confianza, con un nivel del

92\%

, para la proporción de jóvenes que están suscritos a esta plataforma.b) Suponiendo que se mantiene la misma proporción muestral y el mismo nivel de confianza del apartado anterior, determine el tamaño muestral mínimo que se debería tomar si se quisiera que el error máximo fuera

0.025

Intervalo de confianzaTamaño muestralProporción

a) Determinación de un intervalo de confianza, con un nivel del

92\%

, para la proporción de jóvenes suscritos.

Los datos proporcionados son:* Tamaño de la muestra: $n = 100$ * Número de jóvenes suscritos en la muestra: $x = 36$ * Nivel de confianza: $1 - \alpha = 0.92$ La proporción muestral ( $\hat{p}$ ) y su complemento ( $\hat{q}$ ) son:

\hat{p} = \frac{x}{n} = \frac{36}{100} = 0.36

\hat{q} = 1 - \hat{p} = 1 - 0.36 = 0.64

Para un nivel de confianza del $92\%$ , el valor de $\alpha$ es $1 - 0.92 = 0.08$ . Por lo tanto, $\alpha/2 = 0.04$ . El valor crítico $z_{\alpha/2}$ se busca en la tabla de la distribución normal estándar para un área de $1 - \alpha/2 = 1 - 0.04 = 0.96$ .

P(Z \le z_{\alpha/2}) = 0.96 \implies z_{\alpha/2} \approx 1.75

La fórmula para el intervalo de confianza de una proporción es:

\left( \hat{p} - z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{\hat{p}\hat{q}}{n}}, \hat{p} + z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{\hat{p}\hat{q}}{n}} \right)

Calculamos el margen de error ( $E$ ):

E = z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{\hat{p}\hat{q}}{n}} = 1.75 \sqrt{\frac{0.36 \cdot 0.64}{100}}

E = 1.75 \sqrt{\frac{0.2304}{100}} = 1.75 \sqrt{0.002304}

E = 1.75 \cdot 0.048 = 0.084

Finalmente, construimos el intervalo de confianza:

(0.36 - 0.084, 0.36 + 0.084) = (0.276, 0.444)

El intervalo de confianza del $92\%$ para la proporción de jóvenes suscritos es $(0.276, 0.444)$ .

b) Determinación del tamaño muestral mínimo para un error máximo de

0.025

Se mantienen la proporción muestral ( $\hat{p} = 0.36$ ), su complemento ( $\hat{q} = 0.64$ ) y el nivel de confianza ( $92\%$ , por lo que $z_{\alpha/2} = 1.75$ ). El error máximo deseado es $E = 0.025$ .La fórmula para el tamaño muestral ( $n$ ) cuando se conoce el error máximo ( $E$ ) es:

n = \frac{z_{\alpha/2}^2 \hat{p}\hat{q}}{E^2}

Sustituyendo los valores:

n = \frac{(1.75)^2 \cdot 0.36 \cdot 0.64}{(0.025)^2}

n = \frac{3.0625 \cdot 0.2304}{0.000625}

n = \frac{0.7068}{0.000625}

n = 1130.88

Dado que el tamaño muestral debe ser un número entero y debemos asegurarnos de que el error sea como máximo $0.025$ , siempre se redondea al entero superior.Por lo tanto, el tamaño muestral mínimo que se debería tomar es $1131$ jóvenes.