AndalucíaAndalucía
MadridMadrid
CataluñaCataluña
GaliciaGalicia
MurciaMurcia
ValenciaValencia
En construcciónAñadimos comunidades, materias, años y soluciones de forma progresiva y constante.
T1: Interacción gravitatoria
Órbitas de satélites
Problema
2017 · Ordinaria · Reserva
1B-b
Examen
b) Un tornillo de 150 g150 \text{ g}, procedente de un satélite, se encuentra en órbita a 900 km900 \text{ km} de altura sobre la superficie de la Tierra. Calcule la fuerza con que se atraen la Tierra y el tornillo y el tiempo que tarda el tornillo en pasar sucesivamente por el mismo punto.

Datos: G=6,67⋅10−11 N⋅m2⋅kg−2;RT=6,37⋅106 m;MT=5,97⋅1024 kgG = 6,67 \cdot 10^{-11} \text{ N} \cdot \text{m}^2 \cdot \text{kg}^{-2}; R_T = 6,37 \cdot 10^6 \text{ m}; M_T = 5,97 \cdot 10^{24} \text{ kg}

Fuerza gravitatoriaPeriodo orbitalSatélite
b) Órbita del tornillo a 900 km de altura
Tierratornillo (0,15 kg)Fgv
Datos

Masa del tornillo: m=0,150 kgm = 0{,}150 \text{ kg} Altura sobre la superficie: h=900 km=9,00⋅105 mh = 900 \text{ km} = 9{,}00 \cdot 10^5 \text{ m} Radio de la órbita: r=RT+h=6,37⋅106+9,00⋅105=7,27⋅106 mr = R_T + h = 6{,}37 \cdot 10^6 + 9{,}00 \cdot 10^5 = 7{,}27 \cdot 10^6 \text{ m}

1. Fuerza gravitatoria entre la Tierra y el tornillo

Se aplica la Ley de Gravitación Universal de Newton:

F=G⋅MT⋅mr2F = G \cdot \frac{M_T \cdot m}{r^2}

Sustituyendo los valores:

F=6,67⋅10−11⋅5,97⋅1024⋅0,150(7,27⋅106)2F = 6{,}67 \cdot 10^{-11} \cdot \frac{5{,}97 \cdot 10^{24} \cdot 0{,}150}{(7{,}27 \cdot 10^6)^2}
F=6,67⋅10−11⋅8,955⋅10235,285⋅1013F = 6{,}67 \cdot 10^{-11} \cdot \frac{8{,}955 \cdot 10^{23}}{5{,}285 \cdot 10^{13}}
F=6,67⋅10−11⋅1,694⋅1010≈1,13 NF = 6{,}67 \cdot 10^{-11} \cdot 1{,}694 \cdot 10^{10} \approx 1{,}13 \text{ N}
2. Período orbital (tiempo en pasar sucesivamente por el mismo punto)

La fuerza gravitatoria es la que proporciona la fuerza centrípeta necesaria para mantener la órbita circular:

G⋅MT⋅mr2=m⋅4π2rT2G \cdot \frac{M_T \cdot m}{r^2} = m \cdot \frac{4\pi^2 r}{T^2}

Despejando el período TT:

T2=4π2⋅r3G⋅MTT^2 = \frac{4\pi^2 \cdot r^3}{G \cdot M_T}
T=2πr3G⋅MTT = 2\pi \sqrt{\frac{r^3}{G \cdot M_T}}

Sustituyendo los valores:

T=2π(7,27⋅106)36,67⋅10−11⋅5,97⋅1024T = 2\pi \sqrt{\frac{(7{,}27 \cdot 10^6)^3}{6{,}67 \cdot 10^{-11} \cdot 5{,}97 \cdot 10^{24}}}
T=2π3,842⋅10203,982⋅1014T = 2\pi \sqrt{\frac{3{,}842 \cdot 10^{20}}{3{,}982 \cdot 10^{14}}}
T=2π9,648⋅105=2π⋅982,2≈6171 sT = 2\pi \sqrt{9{,}648 \cdot 10^5} = 2\pi \cdot 982{,}2 \approx 6171 \text{ s}
T≈6171 s≈1 h 42 min 51 sT \approx 6171 \text{ s} \approx 1 \text{ h } 42 \text{ min } 51 \text{ s}
Resultados
Fuerza de atracción gravitatoria: F≈1,13 NF \approx 1{,}13 \text{ N}Período orbital: T≈6171 s≈1 h 43 minT \approx 6171 \text{ s} \approx 1 \text{ h } 43 \text{ min}