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T5: Integrales
Cálculo de áreas
Problema
2022 · Extraordinaria · Reserva
3
Examen

Considera la función f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R} definida por f(x)=x3−xf(x) = x^3 - x. Calcula el área total de los recintos limitados por la gráfica de la función ff y la recta normal a dicha gráfica en el punto de abscisa x=0x = 0.

Área entre curvasRecta normalIntegración

Primero, determinamos la ecuación de la recta normal a la gráfica de f(x)=x3−xf(x) = x^3 - x en el punto de abscisa x=0x=0.

1) Calcular las coordenadas del punto de la gráfica en x=0x=0:
f(0)=03−0=0f(0) = 0^3 - 0 = 0

El punto es (0,0)(0, 0).

2) Calcular la derivada de la función para encontrar la pendiente de la recta tangente en x=0x=0:
f′(x)=3x2−1f'(x) = 3x^2 - 1
3) Evaluar la pendiente de la recta tangente en x=0x=0:
mt=f′(0)=3(0)2−1=−1m_t = f'(0) = 3(0)^2 - 1 = -1
4) Calcular la pendiente de la recta normal:

La pendiente de la recta normal (mnm_n) es la inversa negativa de la pendiente de la recta tangente:

mn=−1mt=−1−1=1m_n = -\frac{1}{m_t} = -\frac{1}{-1} = 1
5) Escribir la ecuación de la recta normal:

Usando la forma punto-pendiente y−y0=mn(x−x0)y - y_0 = m_n(x - x_0) con el punto (0,0)(0,0) y la pendiente mn=1m_n=1:

y−0=1(x−0)y=xy - 0 = 1(x - 0) \\ y = x

La ecuación de la recta normal es g(x)=xg(x) = x.

6) Encontrar los puntos de intersección entre la función f(x)f(x) y la recta normal g(x)g(x):
x3−x=xx3−2x=0x(x2−2)=0x^3 - x = x \\ x^3 - 2x = 0 \\ x(x^2 - 2) = 0

Las soluciones son x=0x=0, x2=2x^2=2, lo que implica x=±2x = \pm\sqrt{2}. Los puntos de intersección son x=−2x = -\sqrt{2}, x=0x = 0, y x=2x = \sqrt{2}.

7) Calcular el área total de los recintos limitados por ambas funciones:

El área se calcula integrando el valor absoluto de la diferencia entre las funciones en los intervalos definidos por los puntos de intersección. Definimos h(x)=f(x)−g(x)=(x3−x)−x=x3−2xh(x) = f(x) - g(x) = (x^3 - x) - x = x^3 - 2x. Los intervalos de integración son [−2,0][-\sqrt{2}, 0] y [0,2][0, \sqrt{2}].Analizamos el signo de h(x)h(x) en cada intervalo:Para x∈(−2,0)x \in (-\sqrt{2}, 0), por ejemplo x=−1x=-1: h(−1)=(−1)3−2(−1)=−1+2=1>0h(-1) = (-1)^3 - 2(-1) = -1 + 2 = 1 > 0. Por lo tanto, f(x)>g(x)f(x) > g(x) en este intervalo.Para x∈(0,2)x \in (0, \sqrt{2}), por ejemplo x=1x=1: h(1)=(1)3−2(1)=1−2=−1<0h(1) = (1)^3 - 2(1) = 1 - 2 = -1 < 0. Por lo tanto, f(x)<g(x)f(x) < g(x) en este intervalo.El área total AA será la suma de las áreas en cada intervalo:

A=∫−20(x3−2x)dx+∫02−(x3−2x)dxA=∫−20(x3−2x)dx+∫02(2x−x3)dxA = \int_{-\sqrt{2}}^{0} (x^3 - 2x) dx + \int_{0}^{\sqrt{2}} -(x^3 - 2x) dx \\ A = \int_{-\sqrt{2}}^{0} (x^3 - 2x) dx + \int_{0}^{\sqrt{2}} (2x - x^3) dx

Calculamos la integral indefinida de x3−2xx^3 - 2x:

∫(x3−2x)dx=x44−x2+C\int (x^3 - 2x) dx = \frac{x^4}{4} - x^2 + C

Calculamos la primera parte del área:

A1=[x44−x2]−20A1=(044−02)−((−2)44−(−2)2)A1=0−(44−2)A1=0−(1−2)=−(−1)=1A_1 = \left[ \frac{x^4}{4} - x^2 \right]_{-\sqrt{2}}^{0} \\ A_1 = \left( \frac{0^4}{4} - 0^2 \right) - \left( \frac{(-\sqrt{2})^4}{4} - (-\sqrt{2})^2 \right) \\ A_1 = 0 - \left( \frac{4}{4} - 2 \right) \\ A_1 = 0 - (1 - 2) = -(-1) = 1

Calculamos la segunda parte del área:

A2=[x2−x44]02A2=((2)2−(2)44)−(02−044)A2=(2−44)−0A2=(2−1)=1A_2 = \left[ x^2 - \frac{x^4}{4} \right]_{0}^{\sqrt{2}} \\ A_2 = \left( (\sqrt{2})^2 - \frac{(\sqrt{2})^4}{4} \right) - \left( 0^2 - \frac{0^4}{4} \right) \\ A_2 = \left( 2 - \frac{4}{4} \right) - 0 \\ A_2 = (2 - 1) = 1

El área total es la suma de A1A_1 y A2A_2:

A=A1+A2=1+1=2A = A_1 + A_2 = 1 + 1 = 2

El área total de los recintos es 22 unidades de área.