T1: Interacción gravitatoria

Campo gravitatorio

Problema

2019 · Ordinaria · Reserva

1B-b

En un planeta esférico de radio $2200 \text{ km}$ , la aceleración de la gravedad en la superficie es $g_0 = 5,2 \text{ m s}^{-2}$ .

i) Determine la masa del planeta.ii) Calcule la velocidad de escape desde su superficie.

Dato: $G = 6,67 \cdot 10^{-11} \text{ N m}^2 \text{ kg}^{-2}$

aceleración de la gravedadmasa planetariavelocidad de escape

i) Determine la masa del planeta.

La aceleración de la gravedad en la superficie de un planeta esférico de masa $M$ y radio $R$ viene dada por la expresión:

g_0 = \frac{G M}{R^2}

Despejamos la masa $M$ del planeta:

M = \frac{g_0 R^2}{G}

Sustituimos los valores dados, asegurándonos de que el radio esté en metros ( $R = 2200 \text{ km} = 2.2 \cdot 10^6 \text{ m}$ ):

M = \frac{(5.2 \text{ m s}^{-2}) (2.2 \cdot 10^6 \text{ m})^2}{6.67 \cdot 10^{-11} \text{ N m}^2 \text{ kg}^{-2}}

M = \frac{5.2 \cdot (4.84 \cdot 10^{12})}{6.67 \cdot 10^{-11}} \text{ kg}

M = \frac{2.5168 \cdot 10^{13}}{6.67 \cdot 10^{-11}} \text{ kg}

M \approx 3.77 \cdot 10^{23} \text{ kg}

ii) Calcule la velocidad de escape desde su superficie.

La velocidad de escape desde la superficie de un planeta viene dada por la expresión:

v_e = \sqrt{\frac{2 G M}{R}}

Podemos sustituir la expresión de $GM$ de la aceleración de la gravedad en superficie ( $GM = g_0 R^2$ ) para simplificar el cálculo y evitar el uso de la masa calculada en el apartado anterior:

v_e = \sqrt{\frac{2 (g_0 R^2)}{R}} = \sqrt{2 g_0 R}

Sustituimos los valores:

v_e = \sqrt{2 \cdot (5.2 \text{ m s}^{-2}) \cdot (2.2 \cdot 10^6 \text{ m})}

v_e = \sqrt{22.88 \cdot 10^6 \text{ m}^2 \text{ s}^{-2}}

v_e \approx 4.78 \cdot 10^3 \text{ m s}^{-1}