T1: Matrices y determinantes · Ecuaciones matriciales — MATEMATICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II PEvAU Andalucía 2020

Ecuaciones matriciales

Problema

2020 · Ordinaria · Titular

BLOQUE A

Sean $A, B, X, Y$ matrices invertibles que verifican $A \cdot X = B$ y $B \cdot Y = A$ .

a) Compruebe que

Y^{-1} = X

.b) Para

A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}

B = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}

, halle

X

Y

Matrices invertiblesEcuación matricialProducto de matrices

Resolución de problema de álgebra matricial

a) Compruebe que

Y^{-1} = X

Dadas las igualdades matriciales proporcionadas por el enunciado:

A \cdot X = B \quad (1)

B \cdot Y = A \quad (2)

Para comprobar la relación solicitada, sustituimos la expresión de $B$ obtenida en la ecuación (1) dentro de la ecuación (2):

(A \cdot X) \cdot Y = A

Debido a la propiedad asociativa del producto de matrices, podemos escribir:

A \cdot (X \cdot Y) = A

Como el enunciado indica que $A$ es una matriz invertible, multiplicamos por $A^{-1}$ por la izquierda en ambos miembros:

A^{-1} \cdot A \cdot (X \cdot Y) = A^{-1} \cdot A

I \cdot (X \cdot Y) = I \implies X \cdot Y = I

Siguiendo un razonamiento análogo, si sustituimos $A$ de la ecuación (2) en la ecuación (1):

B \cdot (Y \cdot X) = B \implies Y \cdot X = I

Al cumplirse que $X \cdot Y = Y \cdot X = I$ , por la definición de matriz inversa se concluye que $X$ es la inversa de $Y$ :

Y^{-1} = X

b) Para

A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \ 1 & 3 \end{pmatrix}

B = \begin{pmatrix} 2 & 1 \ 0 & -1 \end{pmatrix}

, halle

X

Y

Para hallar $X$ , despejamos en la ecuación $A \cdot X = B$ multiplicando por $A^{-1}$ por la izquierda:

X = A^{-1} \cdot B

Calculamos primero el determinante de $A$ y su inversa:

|A| = (1 \cdot 3) - (2 \cdot 1) = 1

A^{-1} = \frac{1}{1} \begin{pmatrix} 3 & -2 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & -2 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}

Obtenemos $X$ mediante el producto de matrices:

X = \begin{pmatrix} 3 & -2 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 & 5 \\ -2 & -2 \end{pmatrix}

Para hallar $Y$ , despejamos en la ecuación $B \cdot Y = A$ multiplicando por $B^{-1}$ por la izquierda:

Y = B^{-1} \cdot A

Calculamos el determinante de $B$ y su inversa:

|B| = (2 \cdot -1) - (1 \cdot 0) = -2

B^{-1} = \frac{1}{-2} \begin{pmatrix} -1 & -1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1/2 & 1/2 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}

Obtenemos $Y$ mediante el producto de matrices:

Y = \begin{pmatrix} 1/2 & 1/2 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 5/2 \\ -1 & -3 \end{pmatrix}