El plano $\pi$ viene dado por sus ecuaciones paramétricas:

De estas ecuaciones, podemos extraer un punto del plano $Q_0$ y sus vectores directores $\vec{u}$ y $\vec{v}$.Un punto del plano es $Q_0 = (0, -1, 3)$ (tomando $\alpha=0$ y $\beta=0$). Los vectores directores son $\vec{u} = (9, 2, 4)$ y $\vec{v} = (3, 0, 1)$. El vector normal al plano, $\vec{n}$, se obtiene calculando el producto vectorial de los vectores directores:

Así, el vector normal es $\vec{n} = (2, 3, -6)$. La ecuación general del plano es de la forma $Ax + By + Cz + D = 0$. Sustituyendo las componentes del vector normal, tenemos $2x + 3y - 6z + D = 0$. Para hallar $D$, sustituimos las coordenadas del punto $Q_0(0, -1, 3)$ en la ecuación:

Por lo tanto, la ecuación general del plano $\pi$ es:

Sea $P'(x', y', z')$ el punto simétrico de $P(2, 0, -4)$ respecto al plano $\pi$. Para encontrar $P'$, seguimos estos pasos:1. Hallar la recta $r$ que pasa por $P$ y es perpendicular al plano $\pi$. El vector director de esta recta será el vector normal del plano, $\vec{n} = (2, 3, -6)$. La ecuación paramétrica de la recta $r$ es:

2. Hallar el punto de intersección $M$ de la recta $r$ con el plano $\pi$. Este punto $M$ es la proyección ortogonal de $P$ sobre el plano. Sustituimos las ecuaciones de la recta en la ecuación del plano:

Ahora, sustituimos $t = -1$ en las ecuaciones de la recta $r$ para obtener las coordenadas de $M$:

Así, el punto de intersección es $M(0, -3, 2)$.3. El punto $M$ es el punto medio del segmento $PP'$. Usamos la fórmula del punto medio para encontrar las coordenadas de $P'(x', y', z')$:

El punto simétrico de $P$ respecto al plano $\pi$ es $P'(-2, -6, 8)$.

La distancia de un punto $P(x_0, y_0, z_0)$ a un plano $Ax + By + Cz + D = 0$ se calcula con la fórmula:

Para nuestro caso, el punto es $P(2, 0, -4)$ y el plano es $\pi \equiv 2x + 3y - 6z + 21 = 0$. Sustituimos los valores:

La distancia del punto $P$ al plano $\pi$ es $7$ unidades.