Para esbozar el recinto, analizamos las funciones dadas:1. La función $f(x) = xe^x$: - Intersección con el eje $y$: $f(0) = 0 \cdot e^0 = 0$. Pasa por el origen $(0,0)$. - Derivada primera: $f'(x) = 1 \cdot e^x + x \cdot e^x = e^x(1+x)$. Para $x \in [0, +\infty)$, $f'(x) > 0$, lo que implica que $f(x)$ es estrictamente creciente en su dominio. - Derivada segunda: $f''(x) = e^x(1+x) + e^x(1) = e^x(2+x)$. Para $x \in [0, +\infty)$, $f''(x) > 0$, lo que implica que $f(x)$ es convexa (cóncava hacia arriba) en su dominio.2. La recta $y = x$: Pasa por el origen $(0,0)$ y tiene pendiente 1.3. La recta $x = 2$: Es una línea vertical en $x=2$.Comparación de $f(x)$ con $y=x$: Para $x > 0$, $e^x > 1$. Por lo tanto, $f(x) = xe^x > x \cdot 1 = x$. Esto significa que $f(x)$ siempre está por encima de la recta $y=x$ para $x > 0$. Ambas funciones se intersecan en $x=0$.El recinto limitado está formado por la región entre la gráfica de $f(x)$ (la función superior) y la recta $y=x$ (la función inferior), desde $x=0$ hasta $x=2$. El esbozo mostraría la recta $y=x$ partiendo del origen, la curva $f(x)$ partiendo también del origen y creciendo más rápidamente que $y=x$, y la línea vertical $x=2$ que cierra la región por la derecha.

El área del recinto se calcula integrando la diferencia entre la función superior y la función inferior en el intervalo $[0, 2]$. Como hemos determinado en el apartado anterior, $f(x) = xe^x$ está por encima de $y=x$ en el intervalo $(0,2]$. Por lo tanto, el área $A$ viene dada por la integral:

Resolvemos la integral por partes para $\int xe^x \, dx$:

Ahora, evaluamos la integral definida:

El área del recinto es $e^2 - 1$ unidades cuadradas.