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T5: Integrales
Cálculo de primitivas
Problema
2021 · Extraordinaria · Titular
4
Examen
EJERCICIO 4

Considera la función ff definida por f(x)=x2+1x2−1f(x) = \frac{x^2 + 1}{x^2 - 1} (para x≠−1,x≠1x \neq -1, x \neq 1). Halla una primitiva de ff cuya gráfica pase por el punto (2,4)(2, 4).

AnálisisPrimitivaIntegrales racionales

Para hallar una primitiva de la función f(x)=x2+1x2−1f(x) = \frac{x^2 + 1}{x^2 - 1}, primero reescribimos la función realizando una división polinómica o ajustando el numerador:

f(x)=x2−1+2x2−1=x2−1x2−1+2x2−1=1+2x2−1f(x) = \frac{x^2 - 1 + 2}{x^2 - 1} = \frac{x^2 - 1}{x^2 - 1} + \frac{2}{x^2 - 1} = 1 + \frac{2}{x^2 - 1}

Ahora, integramos la expresión:

F(x)=∫(1+2x2−1)dx=∫1 dx+∫2x2−1 dxF(x) = \int \left(1 + \frac{2}{x^2 - 1}\right) dx = \int 1 \, dx + \int \frac{2}{x^2 - 1} \, dx

La primera integral es sencilla: ∫1 dx=x\int 1 \, dx = x. Para la segunda integral, utilizamos la descomposición en fracciones parciales para 2x2−1\frac{2}{x^2 - 1}.

2x2−1=2(x−1)(x+1)=Ax−1+Bx+1\frac{2}{x^2 - 1} = \frac{2}{(x - 1)(x + 1)} = \frac{A}{x - 1} + \frac{B}{x + 1}

Multiplicamos por (x−1)(x+1)(x - 1)(x + 1):

2=A(x+1)+B(x−1)2 = A(x + 1) + B(x - 1)

Para x=1x = 1:

2=A(1+1)⇒2=2A⇒A=12 = A(1 + 1) \Rightarrow 2 = 2A \Rightarrow A = 1

Para x=−1x = -1:

2=B(−1−1)⇒2=−2B⇒B=−12 = B(-1 - 1) \Rightarrow 2 = -2B \Rightarrow B = -1

Sustituimos los valores de A y B en la descomposición:

2x2−1=1x−1−1x+1\frac{2}{x^2 - 1} = \frac{1}{x - 1} - \frac{1}{x + 1}

Ahora integramos esta expresión:

∫(1x−1−1x+1)dx=ln⁡∣x−1∣−ln⁡∣x+1∣+C\int \left(\frac{1}{x - 1} - \frac{1}{x + 1}\right) dx = \ln|x - 1| - \ln|x + 1| + C

Usando las propiedades de los logaritmos, podemos reescribir esto como:

ln⁡∣x−1x+1∣+C\ln\left|\frac{x - 1}{x + 1}\right| + C

Combinando todas las partes, la primitiva general de f(x)f(x) es:

F(x)=x+ln⁡∣x−1x+1∣+CF(x) = x + \ln\left|\frac{x - 1}{x + 1}\right| + C

Ahora, debemos encontrar el valor de la constante CC tal que la gráfica de F(x)F(x) pase por el punto (2,4)(2, 4). Esto significa que F(2)=4F(2) = 4.

4=2+ln⁡∣2−12+1∣+C4 = 2 + \ln\left|\frac{2 - 1}{2 + 1}\right| + C
4=2+ln⁡∣13∣+C4 = 2 + \ln\left|\frac{1}{3}\right| + C
4=2+ln⁡(1)−ln⁡(3)+C4 = 2 + \ln(1) - \ln(3) + C
4=2+0−ln⁡(3)+C4 = 2 + 0 - \ln(3) + C
4=2−ln⁡(3)+C4 = 2 - \ln(3) + C

Despejamos CC:

C=4−2+ln⁡(3)C = 4 - 2 + \ln(3)
C=2+ln⁡(3)C = 2 + \ln(3)

Por lo tanto, la primitiva de ff cuya gráfica pasa por el punto (2,4)(2, 4) es:

F(x)=x+ln⁡∣x−1x+1∣+2+ln⁡(3)F(x) = x + \ln\left|\frac{x - 1}{x + 1}\right| + 2 + \ln(3)