Resolución de la integral definida
Para calcular la integral ∫ 6 12 1 9 − x 2 d x \int_{6}^{12} \frac{1}{9 - x^2} dx ∫ 6 12 9 − x 2 1 d x , primero realizamos la descomposición en fracciones simples del integrando. El denominador se puede factorizar como una diferencia de cuadrados: 9 − x 2 = ( 3 − x ) ( 3 + x ) 9 - x^2 = (3 - x)(3 + x) 9 − x 2 = ( 3 − x ) ( 3 + x ) .
1 9 − x 2 = 1 ( 3 − x ) ( 3 + x ) = A 3 − x + B 3 + x \frac{1}{9 - x^2} = \frac{1}{(3 - x)(3 + x)} = \frac{A}{3 - x} + \frac{B}{3 + x} 9 − x 2 1 = ( 3 − x ) ( 3 + x ) 1 = 3 − x A + 3 + x B Calculamos los valores de las constantes A A A y B B B igualando los numeradores:
1 = A ( 3 + x ) + B ( 3 − x ) 1 = A(3 + x) + B(3 - x) 1 = A ( 3 + x ) + B ( 3 − x ) Si asignamos valores estratégicos a x x x :
- Si x = 3 x = 3 x = 3 , entonces 1 = 6 A ⟹ A = 1 / 6 1 = 6A \implies A = 1/6 1 = 6 A ⟹ A = 1/6 .
- Si x = − 3 x = -3 x = − 3 , entonces 1 = 6 B ⟹ B = 1 / 6 1 = 6B \implies B = 1/6 1 = 6 B ⟹ B = 1/6 . Sustituimos los valores en la integral para hallar la primitiva:
∫ 1 9 − x 2 d x = 1 6 ∫ 1 3 − x d x + 1 6 ∫ 1 3 + x d x = − 1 6 ln ∣ 3 − x ∣ + 1 6 ln ∣ 3 + x ∣ \int \frac{1}{9 - x^2} dx = \frac{1}{6} \int \frac{1}{3 - x} dx + \frac{1}{6} \int \frac{1}{3 + x} dx = -\frac{1}{6} \ln |3 - x| + \frac{1}{6} \ln |3 + x| ∫ 9 − x 2 1 d x = 6 1 ∫ 3 − x 1 d x + 6 1 ∫ 3 + x 1 d x = − 6 1 ln ∣3 − x ∣ + 6 1 ln ∣3 + x ∣ Agrupamos los términos utilizando las propiedades de los logaritmos:
F ( x ) = 1 6 ln ∣ 3 + x 3 − x ∣ F(x) = \frac{1}{6} \ln \left| \frac{3 + x}{3 - x} \right| F ( x ) = 6 1 ln 3 − x 3 + x Aplicamos la Regla de Barrow evaluando en los límites de integración 6 6 6 y 12 12 12 :
∫ 6 12 1 9 − x 2 d x = [ 1 6 ln ∣ 3 + x 3 − x ∣ ] 6 12 \int_{6}^{12} \frac{1}{9 - x^2} dx = \left[ \frac{1}{6} \ln \left| \frac{3 + x}{3 - x} \right| \right]_{6}^{12} ∫ 6 12 9 − x 2 1 d x = [ 6 1 ln 3 − x 3 + x ] 6 12 Sustituimos los límites superior e inferior:
I = 1 6 ln ∣ 3 + 12 3 − 12 ∣ − 1 6 ln ∣ 3 + 6 3 − 6 ∣ = 1 6 ln ( 15 9 ) − 1 6 ln ( 9 3 ) I = \frac{1}{6} \ln \left| \frac{3 + 12}{3 - 12} \right| - \frac{1}{6} \ln \left| \frac{3 + 6}{3 - 6} \right| = \frac{1}{6} \ln \left( \frac{15}{9} \right) - \frac{1}{6} \ln \left( \frac{9}{3} \right) I = 6 1 ln 3 − 12 3 + 12 − 6 1 ln 3 − 6 3 + 6 = 6 1 ln ( 9 15 ) − 6 1 ln ( 3 9 ) Simplificamos las fracciones y aplicamos de nuevo las propiedades de los logaritmos para obtener el resultado final:
I = 1 6 ln ( 5 3 ) − 1 6 ln 3 = 1 6 ln ( 5 / 3 3 ) = 1 6 ln ( 5 9 ) I = \frac{1}{6} \ln \left( \frac{5}{3} \right) - \frac{1}{6} \ln 3 = \frac{1}{6} \ln \left( \frac{5/3}{3} \right) = \frac{1}{6} \ln \left( \frac{5}{9} \right) I = 6 1 ln ( 3 5 ) − 6 1 ln 3 = 6 1 ln ( 3 5/3 ) = 6 1 ln ( 9 5 ) 
