Para que la función sea continua en su dominio, dado que cada trozo es continuo en sus respectivos intervalos de definición (el primer trozo solo presenta una discontinuidad en $x = 1$, que no pertenece al intervalo $x < 0$), solo debemos asegurar la continuidad en el punto de unión $x = 0$.

Igualando los límites laterales para que exista el límite y la función sea continua: $2 - a = a + b \Rightarrow 2a + b = 2$.Para que sea derivable, calculamos la derivada de la función en cada tramo y forzamos la igualdad de las derivadas laterales en $x = 0$:

Igualando las derivadas laterales: $-a = b$. Sustituimos esta relación en la ecuación de la continuidad:

Sustituyendo el valor de $a$ en $b = -a$, obtenemos $b = -2$.

Sustituyendo los valores, la función y su derivada son:

Analizamos el signo de la derivada en cada tramo:Para $x < 0$, $f'(x) = \frac{-2}{(x-1)^2}$. Como $(x-1)^2$ siempre es positivo, la fracción es siempre negativa. Por tanto, $f$ es estrictamente decreciente en $(-\infty, 0)$.Para $x \ge 0$, $f'(x) = -2 e^x$. Como $e^x$ es siempre positivo, el producto $-2 e^x$ es siempre negativo. Por tanto, $f$ es estrictamente decreciente en $[0, \infty)$.Dado que la función es continua y la derivada es negativa en todo el dominio ($f'(0) = -2$), la función es estrictamente decreciente en todo $\mathbb{R}$ y no presenta extremos relativos (máximos o mínimos).

1. Asíntotas Verticales: El único punto donde la función podría tener una asíntota vertical es $x = 1$ (donde se anula el denominador del primer tramo), pero ese punto no pertenece al dominio de definición de dicho tramo ($x < 0$). Por tanto, no existen asíntotas verticales.2. Asíntotas Horizontales: Calculamos los límites en el infinito.

Existe una asíntota horizontal $y = 2$ cuando $x \to -\infty$.

No existe asíntota horizontal cuando $x \to +\infty$.3. Asíntotas Oblicuas: Analizamos la rama hacia $+\infty$.

Como el límite es infinito, no existe asíntota oblicua. En resumen, la única asíntota es $y = 2$ en $-\infty$.