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T1: Interacción gravitatoria
Campo y potencial gravitatorio
Problema
2024 · Extraordinaria · Titular
A1-b
Examen
b) Se sitúa una masa puntual de 3 kg3 \text{ kg} en el punto A(0,−2) mA(0,-2) \text{ m} y otra de 2 kg2 \text{ kg} en el punto B(3,0) mB(3,0) \text{ m}. Calcule: i) el campo gravitatorio en el origen de coordenadas, ayudándose de un esquema; ii) el potencial gravitatorio en el origen de coordenadas.

Dato: G=6,67⋅10−11 N⋅m2⋅kg−2G = 6,67 \cdot 10^{-11} \text{ N} \cdot \text{m}^2 \cdot \text{kg}^{-2}

Principio de superposiciónVector campo gravitatorio
b) i) El campo gravitatorio resultante en el origen de coordenadas es la suma vectorial de los campos creados por cada una de las masas individualmente, de acuerdo con el principio de superposición.
XYmm_1mm_2Og1g2g_neta

La expresión general del campo gravitatorio creado por una masa puntual MM a una distancia rr es:

g⃗=−GMr2u⃗r\vec{g} = -G \frac{M}{r^2} \vec{u}_r

Calculamos el campo creado por la masa m1=3 kgm_1 = 3 \text{ kg} situada en A(0,−2) mA(0, -2) \text{ m}. El vector unitario desde el origen hacia la masa es −j⃗-\vec{j}, por lo que el campo en el origen apunta hacia la masa (eje yy negativo):

g⃗1=Gm1r12(−j⃗)=6,67⋅10−11322(−j⃗)=−5,0025⋅10−11j⃗ N⋅kg−1\vec{g}_1 = G \frac{m_1}{r_1^2} (-\vec{j}) = 6,67 \cdot 10^{-11} \frac{3}{2^2} (-\vec{j}) = -5,0025 \cdot 10^{-11} \vec{j} \text{ N} \cdot \text{kg}^{-1}

Calculamos el campo creado por la masa m2=2 kgm_2 = 2 \text{ kg} situada en B(3,0) mB(3, 0) \text{ m}. El vector unitario desde el origen hacia la masa es i⃗\vec{i}, por lo que el campo en el origen apunta hacia la derecha:

g⃗2=Gm2r22(i⃗)=6,67⋅10−11232(i⃗)=1,4822⋅10−11i⃗ N⋅kg−1\vec{g}_2 = G \frac{m_2}{r_2^2} (\vec{i}) = 6,67 \cdot 10^{-11} \frac{2}{3^2} (\vec{i}) = 1,4822 \cdot 10^{-11} \vec{i} \text{ N} \cdot \text{kg}^{-1}

El campo total es la suma de ambos vectores:

g⃗O=g⃗1+g⃗2=(1,48⋅10−11i⃗−5,00⋅10−11j⃗) N⋅kg−1\vec{g}_O = \vec{g}_1 + \vec{g}_2 = (1,48 \cdot 10^{-11} \vec{i} - 5,00 \cdot 10^{-11} \vec{j}) \text{ N} \cdot \text{kg}^{-1}
b) ii) El potencial gravitatorio es una magnitud escalar que se calcula como la suma de los potenciales creados por cada masa en el punto deseado.

La fórmula para el potencial gravitatorio VV creado por un sistema de masas puntuales es:

V=−G∑miriV = -G \sum \frac{m_i}{r_i}

Sustituyendo los valores para las distancias r1=2 mr_1 = 2 \text{ m} y r2=3 mr_2 = 3 \text{ m}:

VO=−G(m1r1+m2r2)=−6,67⋅10−11(32+23)V_O = -G \left( \frac{m_1}{r_1} + \frac{m_2}{r_2} \right) = -6,67 \cdot 10^{-11} \left( \frac{3}{2} + \frac{2}{3} \right)
VO=−6,67⋅10−11(1,5+0,6667)=−6,67⋅10−11⋅2,1667V_O = -6,67 \cdot 10^{-11} \left( 1,5 + 0,6667 \right) = -6,67 \cdot 10^{-11} \cdot 2,1667
VO=−1,445⋅10−10 J⋅kg−1V_O = -1,445 \cdot 10^{-10} \text{ J} \cdot \text{kg}^{-1}