T2: Interacción electromagnética

Fuerzas sobre cargas

Teoría

2020 · Ordinaria · Titular

6-a

a) Un electrón se mueve por una región del espacio donde existen campos eléctrico y magnético uniformes, de forma que la fuerza neta que actúa sobre el electrón es nula. i) Discuta razonadamente, con la ayuda de un esquema, cómo deben ser las direcciones y sentidos de los campos. ii) Determine la expresión del módulo de la velocidad de la partícula para que esto ocurra.

Fuerza de LorentzCampo eléctricoCampo magnético

a) i) Discuta razonadamente, con la ayuda de un esquema, cómo deben ser las direcciones y sentidos de los campos.

Para que la fuerza neta sobre el electrón sea nula, la fuerza eléctrica ( $\vec{F}_E$ ) y la fuerza magnética ( $\vec{F}_M$ ) deben ser de igual módulo, tener la misma dirección y sentidos opuestos.

\vec{F}_{neta} = \vec{F}_E + \vec{F}_M = 0 \Rightarrow \vec{F}_E = -\vec{F}_M

Dado que la carga del electrón ( $q$ ) es negativa, las fuerzas se expresan como:

\vec{F}_E = q\vec{E} = -e\vec{E}

\vec{F}_M = q(\vec{v} \times \vec{B}) = -e(\vec{v} \times \vec{B})

Sustituyendo en la condición de fuerza neta nula:

-e\vec{E} = -[-e(\vec{v} \times \vec{B})] \Rightarrow -e\vec{E} = e(\vec{v} \times \vec{B})

Esto implica que $\vec{E}$ debe ser opuesto a $(\vec{v} \times \vec{B})$ . Además, para que los módulos sean iguales, $\vec{v}$ y $\vec{B}$ deben ser perpendiculares entre sí, de modo que $F_M = |q|vB$ .Consideremos el siguiente esquema:

Si el electrón se mueve hacia la derecha y el campo magnético $\vec{B}$ es entrante (hacia el interior de la página), la regla de la mano derecha para $(\vec{v} \times \vec{B})$ daría una dirección hacia abajo. Como la carga del electrón es negativa, la fuerza magnética $\vec{F}_M = -e(\vec{v} \times \vec{B})$ tendrá sentido opuesto, es decir, hacia arriba.Para que esta fuerza se cancele con la fuerza eléctrica, $\vec{F}_E$ debe ir hacia abajo. Puesto que $\vec{F}_E = -e\vec{E}$ y la carga es negativa, $\vec{F}_E$ tiene sentido opuesto a $\vec{E}$ . Por lo tanto, si $\vec{F}_E$ va hacia abajo, el campo eléctrico $\vec{E}$ debe ir hacia arriba.En resumen, las direcciones y sentidos deben ser:1. El campo magnético $\vec{B}$ debe ser perpendicular a la velocidad $\vec{v}$ del electrón.2. El campo eléctrico $\vec{E}$ debe ser perpendicular a $\vec{v}$ y a $\vec{B}$ (es decir, $\vec{E}$ , $\vec{v}$ y $\vec{B}$ son mutuamente perpendiculares).3. El sentido de $\vec{E}$ debe ser opuesto al sentido de la fuerza resultante de $(\vec{v} \times \vec{B})$ si la carga fuera positiva. Para un electrón (carga negativa), $\vec{E}$ debe tener el mismo sentido que la fuerza magnética $\vec{F}_M$ ejercida por el campo magnético sobre el electrón.

a) ii) Determine la expresión del módulo de la velocidad de la partícula para que esto ocurra.

Para que la fuerza neta sea nula, los módulos de la fuerza eléctrica y la fuerza magnética deben ser iguales:

|\vec{F}_E| = |\vec{F}_M|

La fuerza eléctrica es:

F_E = |q|E = eE

La fuerza magnética sobre una carga en movimiento es $F_M = |q|vB\sin\theta$ , donde $\theta$ es el ángulo entre $\vec{v}$ y $\vec{B}$ . Como hemos establecido que $\vec{v}$ y $\vec{B}$ deben ser perpendiculares para que las fuerzas puedan oponerse y anularse, $\theta = 90^\circ$ y $\sin 90^\circ = 1$ . Por tanto, el módulo de la fuerza magnética es:

F_M = evB

Igualando ambas expresiones:

eE = evB

Despejando el módulo de la velocidad $v$ :

v = \frac{E}{B}