La función $f(x)$ está definida a trozos por dos polinomios ($f_1(x) = x^2 - 4x + 4$ y $f_2(x) = -x + 4$), que son funciones continuas y derivables en sus respectivos dominios abiertos ($x<3$ y $x>3$). Por tanto, solo es necesario estudiar la continuidad y derivabilidad en el punto de unión $x=3$.

Para que $f(x)$ sea continua en $x=3$, deben cumplirse las siguientes condiciones:1. Existe $f(3)$.

2. Existen los límites laterales y son iguales.

Dado que $\lim_{x \to 3^-} f(x) = \lim_{x \to 3^+} f(x) = 1$, existe el límite $\lim_{x \to 3} f(x) = 1$.3. El valor de la función en el punto es igual al límite.Como $f(3) = 1$ y $\lim_{x \to 3} f(x) = 1$, se cumple que $f(3) = \lim_{x \to 3} f(x)$. Por lo tanto, la función $f(x)$ es continua en $x=3$. Concluimos que $f(x)$ es continua en todo su dominio, es decir, en $\mathbb{R}$.

Para estudiar la derivabilidad, primero calculamos las derivadas de cada trozo:

Para que $f(x)$ sea derivable en $x=3$, las derivadas laterales deben ser iguales:

Como $f'(3^-) = 2 \ne f'(3^+) = -1$, la función $f(x)$ no es derivable en $x=3$. Por lo tanto, $f(x)$ es derivable en $\mathbb{R} \setminus \{3\}$.

La función $f(x)$ se define como:

Para $x < 3$, la gráfica es un segmento de la parábola $y = (x-2)^2$. Esta parábola tiene su vértice en $(2,0)$ y se abre hacia arriba. Algunos puntos de este tramo son $(0,4)$, $(1,1)$, $(2,0)$. En $x=3$, este tramo se aproxima al punto $(3, (3-2)^2) = (3,1)$, pero no lo incluye (punto abierto).Para $x \ge 3$, la gráfica es una semirrecta $y = -x + 4$. Esta recta pasa por los puntos $(3, -3+4) = (3,1)$ (punto cerrado, que une los dos tramos de la función de forma continua) y $(4, -4+4) = (4,0)$.La representación gráfica de $f$ consiste en un tramo de parábola con vértice en $(2,0)$ que llega hasta el punto $(3,1)$, y a partir de ahí, una semirrecta con pendiente negativa que pasa por $(3,1)$ y $(4,0)$.

El área de la región limitada por la gráfica de $f$, el eje $OX$ y las rectas $x=2$ y $x=4$ se calcula mediante la integral definida:

Analizamos el signo de $f(x)$ en el intervalo $[2, 4]$:Para $x \in [2, 3)$, $f(x) = (x-2)^2 \ge 0$ (ya que es un cuadrado).Para $x \in [3, 4]$, $f(x) = -x+4$. En este intervalo, $f(3) = 1$ y $f(4) = 0$. Como la función es decreciente en este tramo, $f(x) \ge 0$ para todo $x \in [3, 4]$. Por lo tanto, $f(x) \ge 0$ en todo el intervalo $[2, 4]$. No es necesario usar el valor absoluto.Dividimos la integral en dos partes debido a la definición a trozos de $f(x)$:

Calculamos la primera integral:

Calculamos la segunda integral:

Finalmente, sumamos ambas áreas parciales para obtener el área total:

El área de la región limitada es $\frac{5}{6}$ unidades cuadradas.