T6: Teoría de muestras · Intervalos de confianza y tamaño muestral — MATEMATICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II PEvAU Andalucía 2020

Intervalos de confianza y tamaño muestral

Problema

2020 · Extraordinaria · Titular

Se ha tomado una muestra de 16 pacientes tratados por un especialista y se ha observado que el tiempo de espera en su consulta, en minutos, ha sido de:8 9.2 10 8.5 12 9 11.3 7 8.5 8.3 7.6 9 9.4 10.5 8.9 6.8 Supongamos que el tiempo de espera en esta consulta se distribuye según una ley Normal de varianza 4 y media desconocida.

a) Halle un intervalo de confianza al 97.5 % para estimar el tiempo medio de espera de los pacientes tratados por este especialista.b) ¿Cuál debería ser el tamaño mínimo de la muestra para asegurar, con un nivel de confianza del 90 %, que el error cometido sea, a lo sumo, de 0.3 minutos?

InferenciaIntervalo de confianzaDistribución Normal

Resolución de inferencia estadística: Intervalos de confianza y tamaño muestral

A partir de los datos proporcionados, identificamos los parámetros de la distribución normal del tiempo de espera:

\sigma^2 = 4 \Rightarrow \sigma = 2

n = 16

a) Halle un intervalo de confianza al 97.5 % para estimar el tiempo medio de espera de los pacientes tratados por este especialista.

Primero, calculamos la media muestral $\bar{x}$ a partir de los datos de los 16 pacientes:

\bar{x} = \frac{8 + 9.2 + 10 + 8.5 + 12 + 9 + 11.3 + 7 + 8.5 + 8.3 + 7.6 + 9 + 9.4 + 10.5 + 8.9 + 6.8}{16} = \frac{144}{16} = 9

Para un nivel de confianza del $97.5 \%$ , el nivel de significación es $\alpha = 1 - 0.975 = 0.025$ . Buscamos el valor crítico $z_{\alpha/2}$ tal que:

P(Z \leq z_{\alpha/2}) = 1 - \frac{0.025}{2} = 1 - 0.0125 = 0.9875

Consultando las tablas de la normal estándar $N(0,1)$ , obtenemos:

z_{\alpha/2} = 2.24

El intervalo de confianza para la media se calcula mediante la fórmula:

IC = \left( \bar{x} - z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}, \bar{x} + z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \right)

Sustituyendo los valores conocidos:

IC = \left( 9 - 2.24 \cdot \frac{2}{\sqrt{16}}, 9 + 2.24 \cdot \frac{2}{\sqrt{16}} \right) = (9 - 1.12, 9 + 1.12) = (7.88, 10.12)

b) ¿Cuál debería ser el tamaño mínimo de la muestra para asegurar, con un nivel de confianza del 90 %, que el error cometido sea, a lo sumo, de 0.3 minutos?

Para un nivel de confianza del $90 \%$ , calculamos el nuevo valor crítico $z_{\alpha/2}$ :

1 - \alpha = 0.90 \Rightarrow \alpha = 0.10 \Rightarrow \frac{\alpha}{2} = 0.05

P(Z \leq z_{\alpha/2}) = 1 - 0.05 = 0.95 \Rightarrow z_{\alpha/2} = 1.645

La fórmula para el error máximo admisible $E$ es:

E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}

Despejamos el tamaño de la muestra $n$ e introducimos el error máximo de $0.3$ minutos:

n = \left( \frac{z_{\alpha/2} \cdot \sigma}{E} \right)^2 = \left( \frac{1.645 \cdot 2}{0.3} \right)^2 = (10.966...)^2 = 120.267

Como el tamaño de la muestra debe ser un número entero y se requiere un error a lo sumo de $0.3$ , redondeamos siempre al entero superior:

n = 121