T3: Espacio afín y euclideo · Distancias en el espacio — MATEMATICAS II PEvAU Andalucía 2021

Distancias en el espacio

Problema

2021 · Ordinaria · Reserva

Considera las rectas

r \equiv \frac{x}{1} = \frac{y + 2}{2} = \frac{z - 1}{1} \quad \text{y} \quad s \equiv \begin{cases} x - y + z = 2 \\ 3x - y - z = -4 \end{cases}

Sabiendo que dos de los lados de un cuadrado están en las rectas $r$ y $s$ , calcula su área.

Rectas en el espacioCuadradoÁrea

Cálculo del área de un cuadrado con lados en dos rectas dadas

Para calcular el área del cuadrado, primero necesitamos determinar la relación entre las rectas $r$ y $s$ . Si dos lados de un cuadrado están en estas rectas, entonces las rectas deben ser paralelas y distintas. La longitud del lado del cuadrado será la distancia entre estas dos rectas.

1. Expresar las rectas en forma vectorial o paramétrica para identificar sus puntos y vectores directores.

Recta $r \equiv rac{x}{1} = rac{y + 2}{2} = rac{z - 1}{1}$ :Un punto en $r$ es $P_r = (0, -2, 1)$ . Su vector director es $\vec{v_r} = (1, 2, 1)$ .Recta $s \equiv egin{cases} x - y + z = 2 \ 3x - y - z = -4 \end{cases}$ :El vector director de $s$ se obtiene del producto vectorial de los vectores normales de los planos que la definen:

\vec{n_1} = (1, -1, 1)

\vec{n_2} = (3, -1, -1)

\vec{v_s} = \vec{n_1} \times \vec{n_2} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & -1 & 1 \\ 3 & -1 & -1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(1 - (-1)) - \mathbf{j}(-1 - 3) + \mathbf{k}(-1 - (-3)) = (2, 4, 2)

Podemos simplificar el vector director de $s$ a $\vec{v_s} = (1, 2, 1)$ .Para encontrar un punto en $s$ , podemos hacer $x=0$ en las ecuaciones de los planos:

\begin{cases} -y + z = 2 \\ -y - z = -4 \end{cases}

Sumando ambas ecuaciones: $-2y = -2 \implies y = 1$ . Sustituyendo $y=1$ en la primera ecuación: $-1 + z = 2 \implies z = 3$ . Así, un punto en $s$ es $P_s = (0, 1, 3)$ .

2. Analizar la relación entre las rectas

r

s

Los vectores directores $\vec{v_r} = (1, 2, 1)$ y $\vec{v_s} = (1, 2, 1)$ son proporcionales (de hecho, son el mismo), lo que indica que las rectas son paralelas.Para determinar si son distintas o coincidentes, comprobamos si el punto $P_r = (0, -2, 1)$ de la recta $r$ pertenece a la recta $s$ :

0 - (-2) + 1 = 3 \ne 2

Como $P_r$ no satisface la primera ecuación de $s$ , las rectas son paralelas y distintas.

3. Calcular la distancia entre las rectas paralelas.

La distancia entre dos rectas paralelas es la longitud del lado del cuadrado. Usaremos la fórmula de la distancia entre un punto ( $P_s$ ) y una recta ( $r$ ):

d = \frac{|\vec{P_r P_s} \times \vec{v_r}|}{|\vec{v_r}|}

Calculamos el vector que une un punto de cada recta:

\vec{P_r P_s} = P_s - P_r = (0 - 0, 1 - (-2), 3 - 1) = (0, 3, 2)

Calculamos el producto vectorial:

\vec{P_r P_s} \times \vec{v_r} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 0 & 3 & 2 \\ 1 & 2 & 1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(3 \cdot 1 - 2 \cdot 2) - \mathbf{j}(0 \cdot 1 - 2 \cdot 1) + \mathbf{k}(0 \cdot 2 - 3 \cdot 1) = (-1, 2, -3)

Calculamos el módulo de este producto vectorial:

|\vec{P_r P_s} \times \vec{v_r}| = \sqrt{(-1)^2 + 2^2 + (-3)^2} = \sqrt{1 + 4 + 9} = \sqrt{14}

Calculamos el módulo del vector director:

|\vec{v_r}| = \sqrt{1^2 + 2^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 4 + 1} = \sqrt{6}

La distancia $d$ (lado del cuadrado) es:

d = \frac{\sqrt{14}}{\sqrt{6}} = \sqrt{\frac{14}{6}} = \sqrt{\frac{7}{3}}

4. Calcular el área del cuadrado.

El área del cuadrado es el cuadrado de la longitud de su lado:

\text{Área} = d^2 = \left(\sqrt{\frac{7}{3}}\right)^2 = \frac{7}{3}