T2: Sistemas de ecuaciones lineales

Problemas de sistemas

Problema

2021 · Extraordinaria · Suplente

EJERCICIO 6

En una cafetería, tres cafés, una tostada y dos zumos de naranja cuestan $7.50$ €. Cuatro cafés, una tostada y un zumo de naranja cuestan $7.20$ €.

a) Calcula, de forma razonada, el precio total de dos cafés, una tostada y tres zumos de naranja.b) ¿El precio de un zumo de naranja podría ser de

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€? Razona la respuesta.

Sistemas de ecuacionesPlanteamiento de problemas

Definimos las variables para los precios de cada artículo:

C = \text{Precio de un café (\,\text{euros})}

T = \text{Precio de una tostada (\,\text{euros})}

Z = \text{Precio de un zumo de naranja (\,\text{euros})}

A partir de la información proporcionada, podemos establecer un sistema de dos ecuaciones lineales:

\begin{cases} 3C + T + 2Z = 7.50 & \text{(Ecuación 1)}\\ 4C + T + Z = 7.20 & \text{(Ecuación 2)} \end{cases}

a) Calcula, de forma razonada, el precio total de dos cafés, una tostada y tres zumos de naranja.

Queremos encontrar el valor de la expresión $2C + T + 3Z$ . Podemos obtener esta combinación lineal de las Ecuaciones 1 y 2. Sea la combinación $x(\text{Ecuación 1}) + y(\text{Ecuación 2})$ . Los coeficientes de $C$ , $T$ y $Z$ deben coincidir con los de la expresión deseada: Para $C$ : $3x + 4y = 2$ Para $T$ : $x + y = 1$ Para $Z$ : $2x + y = 3$ De la ecuación de los coeficientes de $T$ , $y = 1 - x$ . Sustituimos esta expresión de $y$ en la ecuación de los coeficientes de $Z$ :

2x + (1 - x) = 3 \Rightarrow x + 1 = 3 \Rightarrow x = 2

Ahora calculamos $y$ :

y = 1 - x = 1 - 2 = -1

Verificamos con la ecuación de los coeficientes de $C$ :

3(2) + 4(-1) = 6 - 4 = 2

La combinación de coeficientes $(x=2, y=-1)$ es correcta. Por lo tanto, el precio total deseado es $2 \times (\text{Ecuación 1}) - 1 \times (\text{Ecuación 2})$ :

\text{Precio total} = 2(7.50) - 1(7.20) = 15.00 - 7.20 = 7.80

El precio total de dos cafés, una tostada y tres zumos de naranja es de $7.80$ €.

b) ¿El precio de un zumo de naranja podría ser de

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€? Razona la respuesta.

Si asumimos que $Z = 2$ €. Podemos restar la Ecuación 1 de la Ecuación 2 para obtener una relación entre $C$ y $Z$ :

(4C + T + Z) - (3C + T + 2Z) = 7.20 - 7.50

C - Z = -0.30

Sustituimos $Z = 2$ € en esta nueva ecuación:

C - 2 = -0.30 \Rightarrow C = 2 - 0.30 = 1.70

Así, el precio de un café sería $1.70$ €. Ahora, sustituimos los valores de $C = 1.70$ y $Z = 2$ en una de las ecuaciones originales (por ejemplo, la Ecuación 1) para encontrar el precio de la tostada ( $T$ ):

3(1.70) + T + 2(2) = 7.50

5.10 + T + 4 = 7.50

9.10 + T = 7.50

T = 7.50 - 9.10 = -1.60

El precio de la tostada resultaría ser $-1.60$ €. Dado que un precio no puede ser negativo en este contexto, la suposición de que el zumo de naranja cuesta $2$ € lleva a una contradicción física. Por lo tanto, el precio de un zumo de naranja no podría ser de $2$ €.