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T1: Interacción gravitatoria
Campo y fuerza gravitatoria
Problema
2020 · Extraordinaria · Reserva
1-b
Examen
b) Dos masas iguales de 1000 kg1000 \text{ kg} se encuentran situadas en los puntos (0,0) m(0,0) \text{ m} y (0,3) m(0,3) \text{ m}, respectivamente. i) Represente y calcule el campo gravitatorio en el punto (4,0) m(4,0) \text{ m}. ii) Determine la fuerza gravitatoria sobre una masa de 50 kg50 \text{ kg} colocada en dicho punto.

Dato: G=6,67⋅10−11 N⋅m2⋅kg−2G = 6,67 \cdot 10^{-11} \text{ N} \cdot \text{m}^2 \cdot \text{kg}^{-2}

Interacción gravitatoriaCampo gravitatorioFuerza gravitatoria
b) i) Representación y cálculo del campo gravitatorio en el punto (4,0) m(4,0) \text{ m}.

Las dos masas iguales m1=m2=1000 kgm_1 = m_2 = 1000 \text{ kg} se encuentran situadas en los puntos P1=(0,0) mP_1 = (0,0) \text{ m} y P2=(0,3) mP_2 = (0,3) \text{ m}, respectivamente. El punto donde se debe calcular el campo gravitatorio es P=(4,0) mP = (4,0) \text{ m}. El campo gravitatorio g⃗\vec{g} generado por una masa puntual MM en un punto del espacio viene dado por la expresión vectorial:

g⃗=−GMr2u^r\vec{g} = -G \frac{M}{r^2} \hat{u}_r

donde G=6,67⋅10−11 N⋅m2⋅kg−2G = 6,67 \cdot 10^{-11} \text{ N} \cdot \text{m}^2 \cdot \text{kg}^{-2} es la constante de gravitación universal, MM es la masa fuente, rr es la distancia desde la masa al punto de interés y u^r\hat{u}_r es un vector unitario que apunta desde la masa fuente hacia el punto de interés. El signo negativo indica que el campo gravitatorio es atractivo, es decir, apunta hacia la masa fuente.

XYm$m_1$m$m_2$Pg1g2g_neta

Cálculo del campo gravitatorio g1⃗\vec{g_1} debido a la masa m1m_1 en P1=(0,0) mP_1 = (0,0) \text{ m}:

r1⃗=P−P1=(4,0)−(0,0)=(4i^+0j^) m\vec{r_1} = P - P_1 = (4,0) - (0,0) = (4\hat{i} + 0\hat{j}) \text{ m}
r1=∣r1⃗∣=42+02=4 mr_1 = |\vec{r_1}| = \sqrt{4^2 + 0^2} = 4 \text{ m}
u1^=r1⃗r1=4i^4=i^\hat{u_1} = \frac{\vec{r_1}}{r_1} = \frac{4\hat{i}}{4} = \hat{i}
g1⃗=−Gm1r12u1^=−(6.67⋅10−11 N⋅m2⋅kg−2)1000 kg(4 m)2i^\vec{g_1} = -G \frac{m_1}{r_1^2} \hat{u_1} = -(6.67 \cdot 10^{-11} \text{ N} \cdot \text{m}^2 \cdot \text{kg}^{-2}) \frac{1000 \text{ kg}}{(4 \text{ m})^2} \hat{i}
g1⃗=−(6.67⋅10−11)100016i^=−4.16875⋅10−9i^ N/kg\vec{g_1} = -(6.67 \cdot 10^{-11}) \frac{1000}{16} \hat{i} = -4.16875 \cdot 10^{-9} \hat{i} \text{ N/kg}

Cálculo del campo gravitatorio g2⃗\vec{g_2} debido a la masa m2m_2 en P2=(0,3) mP_2 = (0,3) \text{ m}:

r2⃗=P−P2=(4,0)−(0,3)=(4i^−3j^) m\vec{r_2} = P - P_2 = (4,0) - (0,3) = (4\hat{i} - 3\hat{j}) \text{ m}
r2=∣r2⃗∣=42+(−3)2=16+9=25=5 mr_2 = |\vec{r_2}| = \sqrt{4^2 + (-3)^2} = \sqrt{16+9} = \sqrt{25} = 5 \text{ m}
u2^=r2⃗r2=4i^−3j^5=(0.8i^−0.6j^)\hat{u_2} = \frac{\vec{r_2}}{r_2} = \frac{4\hat{i} - 3\hat{j}}{5} = (0.8\hat{i} - 0.6\hat{j})
g2⃗=−Gm2r22u2^=−(6.67⋅10−11 N⋅m2⋅kg−2)1000 kg(5 m)2(0.8i^−0.6j^)\vec{g_2} = -G \frac{m_2}{r_2^2} \hat{u_2} = -(6.67 \cdot 10^{-11} \text{ N} \cdot \text{m}^2 \cdot \text{kg}^{-2}) \frac{1000 \text{ kg}}{(5 \text{ m})^2} (0.8\hat{i} - 0.6\hat{j})
g2⃗=−(6.67⋅10−11)100025(0.8i^−0.6j^)=−(6.67⋅10−11)⋅40(0.8i^−0.6j^)\vec{g_2} = -(6.67 \cdot 10^{-11}) \frac{1000}{25} (0.8\hat{i} - 0.6\hat{j}) = -(6.67 \cdot 10^{-11}) \cdot 40 (0.8\hat{i} - 0.6\hat{j})
g2⃗=(−2.1344⋅10−9i^+1.6008⋅10−9j^) N/kg\vec{g_2} = (-2.1344 \cdot 10^{-9}\hat{i} + 1.6008 \cdot 10^{-9}\hat{j}) \text{ N/kg}

El campo gravitatorio total g⃗\vec{g} en el punto PP es la suma vectorial de los campos individuales:

g⃗=g1⃗+g2⃗\vec{g} = \vec{g_1} + \vec{g_2}
g⃗=(−4.16875⋅10−9i^)+(−2.1344⋅10−9i^+1.6008⋅10−9j^)\vec{g} = (-4.16875 \cdot 10^{-9}\hat{i}) + (-2.1344 \cdot 10^{-9}\hat{i} + 1.6008 \cdot 10^{-9}\hat{j})
g⃗=(−6.30315⋅10−9i^+1.6008⋅10−9j^) N/kg\vec{g} = (-6.30315 \cdot 10^{-9}\hat{i} + 1.6008 \cdot 10^{-9}\hat{j}) \text{ N/kg}

Redondeando a tres cifras significativas, el campo gravitatorio en el punto (4,0) m(4,0) \text{ m} es:

g⃗=(−6.30⋅10−9i^+1.60⋅10−9j^) N/kg\vec{g} = (-6.30 \cdot 10^{-9}\hat{i} + 1.60 \cdot 10^{-9}\hat{j}) \text{ N/kg}
b) ii) Determinación de la fuerza gravitatoria sobre una masa de 50 kg50 \text{ kg} colocada en dicho punto.

La fuerza gravitatoria F⃗\vec{F} sobre una masa de prueba mpm_p colocada en un punto donde el campo gravitatorio es g⃗\vec{g} viene dada por la expresión:

F⃗=mpg⃗\vec{F} = m_p \vec{g}
F⃗=(50 kg)⋅(−6.30315⋅10−9i^+1.6008⋅10−9j^) N/kg\vec{F} = (50 \text{ kg}) \cdot (-6.30315 \cdot 10^{-9}\hat{i} + 1.6008 \cdot 10^{-9}\hat{j}) \text{ N/kg}
F⃗=(−315.1575⋅10−9i^+80.04⋅10−9j^) N\vec{F} = (-315.1575 \cdot 10^{-9}\hat{i} + 80.04 \cdot 10^{-9}\hat{j}) \text{ N}
F⃗=(−3.151575⋅10−7i^+8.004⋅10−8j^) N\vec{F} = (-3.151575 \cdot 10^{-7}\hat{i} + 8.004 \cdot 10^{-8}\hat{j}) \text{ N}

Redondeando a tres cifras significativas, la fuerza gravitatoria sobre la masa de 50 kg50 \text{ kg} es:

F⃗=(−3.15⋅10−7i^+8.00⋅10−8j^) N\vec{F} = (-3.15 \cdot 10^{-7}\hat{i} + 8.00 \cdot 10^{-8}\hat{j}) \text{ N}