T5: Física moderna

Dualidad onda-corpúsculo

Teoría

2020 · Extraordinaria · Suplente

8-a

Las partículas $\alpha$ son núcleos de helio, de masa cuatro veces la del protón y carga dos veces la del protón. Consideremos una partícula $\alpha$ y un protón que poseen la misma energía cinética.

a) ¿Qué relación existe entre las longitudes de onda de De Broglie de ambas partículas?

Hipótesis de De BrogliePartícula alfa

a) La longitud de onda de De Broglie

(\lambda)

de una partícula se relaciona con su momento lineal

(p)

mediante la expresión:

\lambda = \frac{h}{p}

donde $h$ es la constante de Planck.La energía cinética $E_c$ de una partícula se puede expresar en términos de su momento lineal y su masa $m$ como:

E_c = \frac{1}{2}mv^2 = \frac{(mv)^2}{2m} = \frac{p^2}{2m}

De esta expresión, podemos despejar el momento lineal $p$ :

p = \sqrt{2mE_c}

Sustituyendo esta expresión de $p$ en la ecuación de la longitud de onda de De Broglie, obtenemos:

\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mE_c}}

Para el protón, denotamos su masa como $m_p$ y su energía cinética como $E_c$ (dado que es la misma para ambas partículas). Su longitud de onda de De Broglie será:

\lambda_p = \frac{h}{\sqrt{2m_pE_c}}

Para la partícula $\alpha$ , su masa es $m_\alpha = 4m_p$ y su energía cinética es la misma, $E_c$ . Su longitud de onda de De Broglie será:

\lambda_\alpha = \frac{h}{\sqrt{2m_\alpha E_c}} = \frac{h}{\sqrt{2(4m_p)E_c}} = \frac{h}{\sqrt{8m_pE_c}}

Para encontrar la relación entre las longitudes de onda, dividimos $\lambda_\alpha$ entre $\lambda_p$ :

\frac{\lambda_\alpha}{\lambda_p} = \frac{\frac{h}{\sqrt{8m_pE_c}}}{\frac{h}{\sqrt{2m_pE_c}}} = \frac{\sqrt{2m_pE_c}}{\sqrt{8m_pE_c}} = \sqrt{\frac{2m_pE_c}{8m_pE_c}} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}

Por lo tanto, la relación entre las longitudes de onda es:

\lambda_\alpha = \frac{1}{2} \lambda_p

La longitud de onda de De Broglie de la partícula $\alpha$ es la mitad de la longitud de onda de De Broglie del protón.