AndalucíaAndalucía
MadridMadrid
CataluñaCataluña
GaliciaGalicia
MurciaMurcia
ValenciaValencia
En construcciónAñadimos comunidades, materias, años y soluciones de forma progresiva y constante.
T3: Geometría
Rectas y planos
Problema
2023 · Extraordinaria · Reserva
8B
Examen

Considera el paralelogramo cuyos vértices consecutivos son los puntos P(−1,2,3)P(-1, 2, 3), Q(−2,1,0)Q(-2, 1, 0), R(0,5,1)R(0, 5, 1) y SS.

a) Halla las coordenadas del punto SS.b) Calcula la ecuación de la recta que pasa por el origen de coordenadas y es perpendicular al plano que contiene a los puntos PP, QQ y RR.
Geometría analíticaVectoresRectas
a) Halla las coordenadas del punto SS.

Para que los puntos P,Q,RP, Q, R y SS sean vértices consecutivos de un paralelogramo, los vectores que definen sus lados opuestos deben ser iguales. Por tanto, se debe cumplir la condición vectorial PQ⃗=SR⃗\vec{PQ} = \vec{SR}.Calculamos las componentes del vector PQ⃗\vec{PQ} a partir de los puntos dados P(−1,2,3)P(-1, 2, 3) y Q(−2,1,0)Q(-2, 1, 0):

PQ⃗=Q−P=(−2−(−1),1−2,0−3)=(−1,−1,−3)\vec{PQ} = Q - P = (-2 - (-1), 1 - 2, 0 - 3) = (-1, -1, -3)

Sea S(x,y,z)S(x, y, z) el cuarto vértice. Calculamos el vector SR⃗\vec{SR} utilizando el punto R(0,5,1)R(0, 5, 1):

SR⃗=R−S=(0−x,5−y,1−z)\vec{SR} = R - S = (0 - x, 5 - y, 1 - z)

Igualamos ambos vectores componente a componente:

{−1=0−x  ⟹  x=1−1=5−y  ⟹  y=6−3=1−z  ⟹  z=4\begin{cases} -1 = 0 - x \implies x = 1 \\ -1 = 5 - y \implies y = 6 \\ -3 = 1 - z \implies z = 4 \end{cases}

Las coordenadas del punto SS son (1,6,4)(1, 6, 4).

b) Calcula la ecuación de la recta que pasa por el origen de coordenadas y es perpendicular al plano que contiene a los puntos PP, QQ y RR.

La recta rr buscada pasa por el origen O(0,0,0)O(0, 0, 0). Su vector director d⃗r\vec{d}_r debe ser perpendicular al plano que contiene a P,QP, Q y RR, por lo que podemos tomar como vector director el vector normal al plano, obtenido mediante el producto vectorial PQ⃗×PR⃗\vec{PQ} \times \vec{PR}.Ya conocemos PQ⃗=(−1,−1,−3)\vec{PQ} = (-1, -1, -3). Ahora calculamos el vector PR⃗\vec{PR}:

PR⃗=R−P=(0−(−1),5−2,1−3)=(1,3,−2)\vec{PR} = R - P = (0 - (-1), 5 - 2, 1 - 3) = (1, 3, -2)

Realizamos el producto vectorial:

d⃗r=PQ⃗×PR⃗=∣i⃗j⃗k⃗−1−1−313−2∣\vec{d}_r = \vec{PQ} \times \vec{PR} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -1 & -1 & -3 \\ 1 & 3 & -2 \end{vmatrix}
d⃗r=(2−(−9))i⃗−(2−(−3))j⃗+(−3−(−1))k⃗=11i⃗−5j⃗−2k⃗\vec{d}_r = (2 - (-9))\vec{i} - (2 - (-3))\vec{j} + (-3 - (-1))\vec{k} = 11\vec{i} - 5\vec{j} - 2\vec{k}

El vector director de la recta es d⃗r=(11,−5,−2)\vec{d}_r = (11, -5, -2). Utilizando el punto O(0,0,0)O(0, 0, 0), la ecuación de la recta en forma continua es:

r≡x11=y−5=z−2r \equiv \frac{x}{11} = \frac{y}{-5} = \frac{z}{-2}