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T4: Óptica
Láminas de caras paralelas
Problema
2024 · Ordinaria · Titular
2C-b
Examen
b) Sobre una lámina de caras planas y paralelas, rodeada de aire, incide un rayo de luz monocromática formando un ángulo de 80∘80^\circ con la normal a las superficies de las láminas. La longitud de onda del rayo en la lámina vale 3λ0/43\lambda_0/4, siendo λ0\lambda_0 la longitud de onda en el aire. i) Halle el índice de refracción en la lámina. ii) Calcule el ángulo de refracción en la lámina y represente en un esquema la trayectoria del rayo. iii) Obtenga el espesor de la lámina sabiendo que el rayo tarda 5,28⋅10−10 s5,28 \cdot 10^{-10} \text{ s} en atravesarla. Justifique sus respuestas.

Datos: c=3⋅108 m⋅s−1c = 3 \cdot 10^8 \text{ m} \cdot \text{s}^{-1}; naire=1n_{\text{aire}} = 1

Leyes de SnellÍndice de refracciónGeometría óptica
i) Halle el índice de refracción en la lámina.

Cuando la luz pasa de un medio a otro, su frecuencia ff permanece constante. Dado que la velocidad de fase es v=λ⋅fv = \lambda \cdot f y el índice de refracción se define como n=c/vn = c/v, la relación entre el índice de refracción y la longitud de onda es inversamente proporcional:

n1⋅λ0=n2⋅λn_1 \cdot \lambda_0 = n_2 \cdot \lambda

Sustituyendo los datos del enunciado, donde n1=1n_1 = 1 (aire) y λ=3λ04\lambda = \frac{3\lambda_0}{4}:

1⋅λ0=n2⋅(3λ04)  ⟹  n2=43≈1,331 \cdot \lambda_0 = n_2 \cdot \left( \frac{3\lambda_0}{4} \right) \implies n_2 = \frac{4}{3} \approx 1,33
ii) Calcule el ángulo de refracción en la lámina y represente en un esquema la trayectoria del rayo.

Aplicamos la ley de Snell para la refracción en la primera cara de la lámina, donde el ángulo de incidencia es θ1=80∘\theta_1 = 80^\circ:

n1⋅sin⁡θ1=n2⋅sin⁡θ2n_1 \cdot \sin \theta_1 = n_2 \cdot \sin \theta_2

Sustituyendo los valores conocidos:

1⋅sin⁡80∘=43⋅sin⁡θ2  ⟹  sin⁡θ2=3⋅sin⁡80∘4≈0,73861 \cdot \sin 80^\circ = \frac{4}{3} \cdot \sin \theta_2 \implies \sin \theta_2 = \frac{3 \cdot \sin 80^\circ}{4} \approx 0,7386
θ2=arcsin⁡(0,7386)≈47,61∘\theta_2 = \arcsin(0,7386) \approx 47,61^\circ

En cuanto a la trayectoria: el rayo incide con un ángulo de 80∘80^\circ, se refracta hacia la normal al entrar en un medio más denso con un ángulo de 47,61∘47,61^\circ, y al alcanzar la segunda cara (paralela a la primera), se refracta nuevamente alejándose de la normal para salir al aire con el mismo ángulo de incidencia original (80∘80^\circ), resultando en un rayo emergente paralelo al incidente.

iii) Obtenga el espesor de la lámina sabiendo que el rayo tarda 5,28⋅10−10 s5,28 \cdot 10^{-10} \text{ s} en atravesarla.

Primero calculamos la velocidad de la luz dentro de la lámina (v2v_2):

v2=cn2=3⋅108 m⋅s−14/3=2,25⋅108 m⋅s−1v_2 = \frac{c}{n_2} = \frac{3 \cdot 10^8 \text{ m} \cdot \text{s}^{-1}}{4/3} = 2,25 \cdot 10^8 \text{ m} \cdot \text{s}^{-1}

La distancia ss que recorre el rayo dentro de la lámina se obtiene mediante el tiempo proporcionado:

s=v2⋅t=(2,25⋅108 m⋅s−1)⋅(5,28⋅10−10 s)=0,1188 ms = v_2 \cdot t = (2,25 \cdot 10^8 \text{ m} \cdot \text{s}^{-1}) \cdot (5,28 \cdot 10^{-10} \text{ s}) = 0,1188 \text{ m}

Utilizando la relación geométrica entre el espesor dd de la lámina, la distancia recorrida ss y el ángulo de refracción θ2\theta_2:

cos⁡θ2=ds  ⟹  d=s⋅cos⁡θ2\cos \theta_2 = \frac{d}{s} \implies d = s \cdot \cos \theta_2
d=0,1188 m⋅cos⁡47,61∘≈0,1188⋅0,6742≈0,0801 md = 0,1188 \text{ m} \cdot \cos 47,61^\circ \approx 0,1188 \cdot 0,6742 \approx 0,0801 \text{ m}

El espesor de la lámina es de aproximadamente 8,01 cm8,01 \text{ cm}.