T3: Espacio afín y euclideo

Posiciones relativas y ángulos

Problema

2021 · Ordinaria · Reserva

Considera las rectas

r \equiv \begin{cases} x = 1 + \lambda \\ y = 1 + \lambda \\ z = 2 + m\lambda \end{cases} \quad \text{y} \quad s \equiv \begin{cases} x - y + 2z = 3 \\ x + z = 2 \end{cases}

a) Estudia la posición relativa de

r

s

según los valores de

m

.b) Para

m = 1

, calcula el coseno del ángulo que forman las rectas

r

s

Posición relativa de rectasÁngulo entre rectas

Primero, vamos a obtener las ecuaciones paramétricas y los vectores direccionales y puntos de cada recta.Para la recta $r$ :

r \equiv \begin{cases} x = 1 + \lambda \\ y = 1 + \lambda \\ z = 2 + m\lambda \end{cases}

Un punto de la recta $r$ es $P_r(1, 1, 2)$ y su vector director es $\vec{v}_r(1, 1, m)$ .Para la recta $s$ :

s \equiv \begin{cases} x - y + 2z = 3 \\ x + z = 2 \end{cases}

De la segunda ecuación, $x = 2 - z$ . Sustituyendo en la primera ecuación:

(2 - z) - y + 2z = 3 \\ 2 + z - y = 3 \\ z - y = 1 \\ y = z - 1

Si hacemos $z = \mu$ , entonces $x = 2 - \mu$ e $y = -1 + \mu$ . Las ecuaciones paramétricas de $s$ son:

s \equiv \begin{cases} x = 2 - \mu \\ y = -1 + \mu \\ z = \mu \end{cases}

Un punto de la recta $s$ es $P_s(2, -1, 0)$ y su vector director es $\vec{v}_s(-1, 1, 1)$ .

a) Estudia la posición relativa de

r

s

según los valores de

m

Primero, comprobamos si los vectores directores son paralelos. Si $\vec{v}_r = k\vec{v}_s$ :

(1, 1, m) = k(-1, 1, 1) \implies \begin{cases} 1 = -k \\ 1 = k \\ m = k \end{cases}

De las dos primeras ecuaciones se obtiene $k = -1$ y $k = 1$ , lo cual es una contradicción. Por lo tanto, los vectores directores $\vec{v}_r$ y $\vec{v}_s$ no son paralelos para ningún valor de $m$ . Esto implica que las rectas $r$ y $s$ no pueden ser paralelas ni coincidentes; solo pueden cortarse o cruzarse.Ahora, formamos el vector $\vec{P_r P_s}$ que une un punto de $r$ con un punto de $s$ :

\vec{P_r P_s} = P_s - P_r = (2 - 1, -1 - 1, 0 - 2) = (1, -2, -2)

Para determinar si las rectas se cortan o se cruzan, calculamos el determinante de la matriz formada por los tres vectores $\vec{v}_r$ , $\vec{v}_s$ y $\vec{P_r P_s}$ :

\det(\vec{v}_r, \vec{v}_s, \vec{P_r P_s}) = \begin{vmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & -2 \\ m & 1 & -2 \end{vmatrix}

= 1 \cdot (1 \cdot (-2) - (-2) \cdot 1) - (-1) \cdot (1 \cdot (-2) - (-2) \cdot m) + 1 \cdot (1 \cdot 1 - 1 \cdot m) \\ = 1 \cdot (-2 + 2) + 1 \cdot (-2 + 2m) + (1 - m) \\ = 0 - 2 + 2m + 1 - m \\ = m - 1

Analizamos los casos según el valor del determinante:1. Si $\det(\vec{v}_r, \vec{v}_s, \vec{P_r P_s}) = 0 \implies m - 1 = 0 \implies m = 1$ .En este caso, los tres vectores son coplanarios. Dado que los vectores directores no son paralelos, las rectas se cortan.2. Si $\det(\vec{v}_r, \vec{v}_s, \vec{P_r P_s}) \neq 0 \implies m - 1 \neq 0 \implies m \neq 1$ .En este caso, los tres vectores no son coplanarios. Dado que los vectores directores no son paralelos, las rectas se cruzan.Resumen de la posición relativa:* Si $m = 1$ : Las rectas $r$ y $s$ se cortan.* Si $m \neq 1$ : Las rectas $r$ y $s$ se cruzan.

b) Para

m = 1

, calcula el coseno del ángulo que forman las rectas

r

s

Para $m = 1$ , los vectores directores son:

\vec{v}_r = (1, 1, 1)

\vec{v}_s = (-1, 1, 1)

El coseno del ángulo $\alpha$ que forman dos rectas se calcula mediante la fórmula:

\cos(\alpha) = \frac{|\vec{v}_r \cdot \vec{v}_s|}{\|\vec{v}_r\| \cdot \|\vec{v}_s\|}

Calculamos el producto escalar:

\vec{v}_r \cdot \vec{v}_s = (1)(-1) + (1)(1) + (1)(1) = -1 + 1 + 1 = 1

Calculamos los módulos de los vectores:

\|\vec{v}_r\| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 1 + 1} = \sqrt{3}

\|\vec{v}_s\| = \sqrt{(-1)^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 1 + 1} = \sqrt{3}

Sustituimos en la fórmula del coseno:

\cos(\alpha) = \frac{|1|}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{1}{3}

El coseno del ángulo que forman las rectas $r$ y $s$ para $m = 1$ es $\frac{1}{3}$ .