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T1: Matrices y determinantes
Matriz inversa
Problema
2021 · Extraordinaria · Suplente
5B
Examen
EJERCICIO 5

Considera la matriz

A=(mmmmm+1mmmm+2)A = \begin{pmatrix} m & m & m \\ m & m + 1 & m \\ m & m & m + 2 \end{pmatrix}
a) ¿Para qué valores de mm existe la inversa de la matriz AA? Razona la respuesta.b) Para m=1m = 1, halla (12A)−1\left( \frac{1}{2} A \right)^{-1}.
MatricesDeterminanteMatriz inversa
a) ¿Para qué valores de mm existe la inversa de la matriz AA? Razona la respuesta.

Una matriz cuadrada tiene inversa si y solo si su determinante es distinto de cero. Calcularemos el determinante de la matriz AA:

A=(mmmmm+1mmmm+2)A = \begin{pmatrix} m & m & m \\ m & m + 1 & m \\ m & m & m + 2 \end{pmatrix}

Para facilitar el cálculo del determinante, realizamos las siguientes operaciones elementales por filas que no alteran el valor del determinante:

F2→F2−F1F3→F3−F1F_2 \rightarrow F_2 - F_1 \\ F_3 \rightarrow F_3 - F_1
det⁡(A)=det⁡(mmmm−m(m+1)−mm−mm−mm−m(m+2)−m)=det⁡(mmm010002)\det(A) = \det \begin{pmatrix} m & m & m \\ m - m & (m + 1) - m & m - m \\ m - m & m - m & (m + 2) - m \end{pmatrix} = \det \begin{pmatrix} m & m & m \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}

Como la matriz resultante es una matriz triangular superior, su determinante es el producto de los elementos de su diagonal principal:

det⁡(A)=m⋅1⋅2=2m\det(A) = m \cdot 1 \cdot 2 = 2m

Para que la matriz AA tenga inversa, su determinante debe ser distinto de cero:

2m≠0  ⟹  m≠02m \neq 0 \implies m \neq 0

Por lo tanto, la inversa de la matriz AA existe para todos los valores de mm distintos de 00.

b) Para m=1m = 1, halla (12A)−1\left( \frac{1}{2} A \right)^{-1}.

Sustituimos m=1m = 1 en la matriz AA:

A=(11111+11111+2)=(111121113)A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 + 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 + 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 3 \end{pmatrix}

Recordemos la propiedad de la inversa de un producto por un escalar: (kA)−1=1kA−1(kA)^{-1} = \frac{1}{k} A^{-1}. En este caso, k=12k = \frac{1}{2}, por lo tanto:

(12A)−1=11/2A−1=2A−1\left( \frac{1}{2} A \right)^{-1} = \frac{1}{1/2} A^{-1} = 2 A^{-1}

Primero, calculamos A−1A^{-1} para m=1m=1. Ya sabemos que det⁡(A)=2m\det(A) = 2m, así que para m=1m=1, det⁡(A)=2(1)=2\det(A) = 2(1) = 2.Ahora calculamos la matriz de cofactores CijC_{ij}:

C11=det⁡(2113)=6−1=5C12=−det⁡(1113)=−(3−1)=−2C13=det⁡(1211)=1−2=−1C_{11} = \det \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} = 6 - 1 = 5 \\ C_{12} = -\det \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} = -(3 - 1) = -2 \\ C_{13} = \det \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} = 1 - 2 = -1
C21=−det⁡(1113)=−(3−1)=−2C22=det⁡(1113)=3−1=2C23=−det⁡(1111)=−(1−1)=0C_{21} = -\det \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} = -(3 - 1) = -2 \\ C_{22} = \det \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} = 3 - 1 = 2 \\ C_{23} = -\det \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} = -(1 - 1) = 0
C31=det⁡(1121)=1−2=−1C32=−det⁡(1111)=−(1−1)=0C33=det⁡(1112)=2−1=1C_{31} = \det \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} = 1 - 2 = -1 \\ C_{32} = -\det \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} = -(1 - 1) = 0 \\ C_{33} = \det \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} = 2 - 1 = 1

La matriz de cofactores es:

C=(5−2−1−220−101)C = \begin{pmatrix} 5 & -2 & -1 \\ -2 & 2 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \end{pmatrix}

La matriz adjunta (adj(AA)) es la traspuesta de la matriz de cofactores:

adj(A)=CT=(5−2−1−220−101)\text{adj}(A) = C^T = \begin{pmatrix} 5 & -2 & -1 \\ -2 & 2 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \end{pmatrix}

Ahora, calculamos A−1A^{-1}:

A−1=1det⁡(A)adj(A)=12(5−2−1−220−101)A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \text{adj}(A) = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 5 & -2 & -1 \\ -2 & 2 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \end{pmatrix}

Finalmente, hallamos (12A)−1\left( \frac{1}{2} A \right)^{-1}:

(12A)−1=2A−1=2⋅12(5−2−1−220−101)=(5−2−1−220−101)\left( \frac{1}{2} A \right)^{-1} = 2 A^{-1} = 2 \cdot \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 5 & -2 & -1 \\ -2 & 2 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 & -2 & -1 \\ -2 & 2 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \end{pmatrix}