T6: Teoría de muestras · Muestreo estratificado y distribuciones muestrales — MATEMATICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II PEvAU Andalucía 2022

Muestreo estratificado y distribuciones muestrales

Problema

2022 · Extraordinaria · Reserva

a) Se divide una población en cuatro estratos de tamaño 60000, 20000, 24000 y 16000 personas. En dicha población se realiza un muestreo estratificado por afijación proporcional, seleccionándose 144 personas del tercer estrato. Determine el tamaño total de la muestra y su composición.b) Dada la población

\{1, 4, 7\}

, establezca todas las muestras posibles de tamaño 2 que se puedan formar mediante muestreo aleatorio simple y determinar la media y la desviación típica de las medias muestrales obtenidas con todas estas muestras.

Muestreo estratificadoAfijación proporcionalMedia muestral

a) Determinación del tamaño total de la muestra y su composición.

Primero, calculamos el tamaño total de la población $N$ sumando los tamaños de todos los estratos:

N = N_1 + N_2 + N_3 + N_4 = 60000 + 20000 + 24000 + 16000 = 120000

En un muestreo estratificado por afijación proporcional, la proporción de la muestra en cada estrato es igual a la proporción de la población en ese estrato. Es decir, $\frac{n_i}{N_i} = \frac{n}{N}$ . Sabemos que se seleccionaron $n_3 = 144$ personas del tercer estrato, cuyo tamaño es $N_3 = 24000$ .

\frac{n_3}{N_3} = \frac{n}{N} \implies \frac{144}{24000} = \frac{n}{120000}

Despejamos el tamaño total de la muestra $n$ :

n = \frac{144}{24000} \cdot 120000 = 144 \cdot \frac{120000}{24000} = 144 \cdot 5 = 720

El tamaño total de la muestra es $n = 720$ personas. Ahora, determinamos la composición de la muestra ( $n_i$ ) para cada estrato utilizando la misma proporción:

n_1 = \frac{N_1}{N} \cdot n = \frac{60000}{120000} \cdot 720 = 0.5 \cdot 720 = 360

n_2 = \frac{N_2}{N} \cdot n = \frac{20000}{120000} \cdot 720 = \frac{1}{6} \cdot 720 = 120

n_4 = \frac{N_4}{N} \cdot n = \frac{16000}{120000} \cdot 720 = \frac{2}{15} \cdot 720 = 96

La composición de la muestra es:Estrato 1: $n_1 = 360$ personas.Estrato 2: $n_2 = 120$ personas.Estrato 3: $n_3 = 144$ personas (dato inicial).Estrato 4: $n_4 = 96$ personas.

b) Establecimiento de muestras, media y desviación típica de las medias muestrales.

La población dada es $P = \{1, 4, 7\}$ , con un tamaño $N=3$ . Se van a formar muestras de tamaño $k=2$ mediante muestreo aleatorio simple (sin reemplazo).Las muestras posibles de tamaño 2 son:Muestra 1: $\{1, 4\}$ Muestra 2: $\{1, 7\}$ Muestra 3: $\{4, 7\}$ Calculamos la media de cada muestra:

\bar{x}_1 = \frac{1+4}{2} = 2.5

\bar{x}_2 = \frac{1+7}{2} = 4

\bar{x}_3 = \frac{4+7}{2} = 5.5

Para determinar la media de las medias muestrales ( $\mu_{\bar{x}}$ ), calculamos el promedio de $\bar{x}_1, \bar{x}_2, \bar{x}_3$ :

\mu_{\bar{x}} = \frac{2.5 + 4 + 5.5}{3} = \frac{12}{3} = 4

Para la desviación típica de las medias muestrales (error estándar, $\sigma_{\bar{x}}$ ), primero calculamos la media ( $\mu$ ) y la desviación típica ( $\sigma$ ) de la población original.

\mu = \frac{1+4+7}{3} = \frac{12}{3} = 4

\sigma^2 = \frac{(1-4)^2 + (4-4)^2 + (7-4)^2}{3} = \frac{(-3)^2 + 0^2 + 3^2}{3} = \frac{9+0+9}{3} = \frac{18}{3} = 6

\sigma = \sqrt{6}

La fórmula para la desviación típica de las medias muestrales en un muestreo sin reemplazo es:

\sigma_{\bar{x}} = \frac{\sigma}{\sqrt{k}} \sqrt{\frac{N-k}{N-1}}

Sustituimos los valores $N=3$ , $k=2$ y $\sigma = \sqrt{6}$ :

\sigma_{\bar{x}} = \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{2}} \sqrt{\frac{3-2}{3-1}} = \sqrt{\frac{6}{2}} \sqrt{\frac{1}{2}} = \sqrt{3} \sqrt{\frac{1}{2}} = \sqrt{\frac{3}{2}} = \sqrt{1.5}

Alternativamente, podemos calcular la desviación típica de las medias muestrales directamente a partir de las medias obtenidas:

\sigma_{\bar{x}}^2 = \frac{(\bar{x}_1 - \mu_{\bar{x}})^2 + (\bar{x}_2 - \mu_{\bar{x}})^2 + (\bar{x}_3 - \mu_{\bar{x}})^2}{3}

\sigma_{\bar{x}}^2 = \frac{(2.5-4)^2 + (4-4)^2 + (5.5-4)^2}{3} = \frac{(-1.5)^2 + 0^2 + (1.5)^2}{3} = \frac{2.25 + 0 + 2.25}{3} = \frac{4.5}{3} = 1.5

\sigma_{\bar{x}} = \sqrt{1.5}

La media de las medias muestrales es $\mu_{\bar{x}} = 4$ y la desviación típica de las medias muestrales es $\sigma_{\bar{x}} = \sqrt{1.5}$ .