T4: Óptica · Fibra óptica — FISICA PEvAU Andalucía 2019

Fibra óptica

Problema

2019 · Extraordinaria · Titular

3B-b

b) Un rayo de luz de longitud de onda en el vacío de

6,5 \cdot 10^{-7} \text{ m}

incide desde el aire sobre el extremo de una fibra óptica, formando un ángulo

\alpha

con el eje de la fibra (ver figura), siendo el índice de refracción dentro de la fibra

n_1=1,5

. La fibra está recubierta de un material de índice de refracción

n_2=1,4

. Determine: (i) La longitud de onda de la luz dentro de la fibra. (ii) El valor máximo del ángulo

\alpha

para que se produzca reflexión total interna en el punto P.

Datos: $c = 3 \cdot 10^8 \text{ m s}^{-1}$ ; $n_{\text{aire}} = 1$

Reflexión total internaÁngulo críticoLongitud de onda

b) (i) La longitud de onda de la luz dentro de la fibra.

La relación entre el índice de refracción de un medio, la longitud de onda de la luz en el vacío y la longitud de onda de la luz en el medio viene dada por:

n = \frac{\lambda_0}{\lambda}

Donde $n$ es el índice de refracción del medio, $\lambda_0$ es la longitud de onda en el vacío y $\lambda$ es la longitud de onda en el medio. Para la luz dentro de la fibra, con índice de refracción $n_1=1,5$ :

n_1 = \frac{\lambda_0}{\lambda_1} \Rightarrow \lambda_1 = \frac{\lambda_0}{n_1}

Sustituyendo los valores:

\lambda_1 = \frac{6,5 \cdot 10^{-7} \text{ m}}{1,5} \approx 4,33 \cdot 10^{-7} \text{ m}

(ii) El valor máximo del ángulo

\alpha

para que se produzca reflexión total interna en el punto P.

Para que se produzca reflexión total interna en el punto P, el ángulo de incidencia $\theta_P$ en la interfaz entre el núcleo ( $n_1$ ) y el revestimiento ( $n_2$ ) debe ser mayor o igual que el ángulo crítico $\theta_c$ . El ángulo crítico se calcula a partir de la ley de Snell en el límite:

n_1 \sin(\theta_c) = n_2 \sin(90^\circ)

Despejando $\sin(\theta_c)$ :

\sin(\theta_c) = \frac{n_2}{n_1}

Sustituyendo los valores $n_1 = 1,5$ y $n_2 = 1,4$ :

\sin(\theta_c) = \frac{1,4}{1,5} \approx 0,9333

\theta_c = \arcsin(0,9333) \approx 68,96^\circ

Ahora, relacionamos el ángulo $\alpha$ con el ángulo de refracción $\theta_r$ en la entrada de la fibra y, a su vez, con el ángulo de incidencia $\theta_P$ en el punto P. Según la figura, $\alpha$ es el ángulo de incidencia al entrar la luz desde el aire al núcleo de la fibra. Aplicando la ley de Snell en la entrada de la fibra:

n_{\text{aire}} \sin(\alpha) = n_1 \sin(\theta_r)

Donde $n_{\text{aire}}=1$ . Por geometría, el ángulo de incidencia en el punto P, $\theta_P$ , y el ángulo de refracción $\theta_r$ son ángulos complementarios, es decir:

\theta_P = 90^\circ - \theta_r

Para que se produzca la reflexión total interna, $\theta_P \ge \theta_c$ . Para el valor máximo de $\alpha$ , tomamos el caso límite donde $\theta_P = \theta_c$ :

\theta_c = 90^\circ - \theta_r \Rightarrow \theta_r = 90^\circ - \theta_c

Sustituyendo $\theta_r$ en la ecuación de Snell de la entrada:

n_{\text{aire}} \sin(\alpha_{\text{max}}) = n_1 \sin(90^\circ - \theta_c)

Utilizando la identidad trigonométrica $\sin(90^\circ - x) = \cos(x)$ :

n_{\text{aire}} \sin(\alpha_{\text{max}}) = n_1 \cos(\theta_c)

Como $\cos(\theta_c) = \sqrt{1 - \sin^2(\theta_c)}$ y $\sin(\theta_c) = n_2/n_1$ :

n_{\text{aire}} \sin(\alpha_{\text{max}}) = n_1 \sqrt{1 - \left(\frac{n_2}{n_1}\right)^2}

Simplificando la expresión:

n_{\text{aire}} \sin(\alpha_{\text{max}}) = n_1 \sqrt{\frac{n_1^2 - n_2^2}{n_1^2}} = n_1 \frac{\sqrt{n_1^2 - n_2^2}}{n_1} = \sqrt{n_1^2 - n_2^2}

Dado que $n_{\text{aire}} = 1$ :

\sin(\alpha_{\text{max}}) = \sqrt{n_1^2 - n_2^2}

Sustituyendo los valores de $n_1$ y $n_2$ :

\sin(\alpha_{\text{max}}) = \sqrt{(1,5)^2 - (1,4)^2} = \sqrt{2,25 - 1,96} = \sqrt{0,29}

\sin(\alpha_{\text{max}}) \approx 0,5385

\alpha_{\text{max}} = \arcsin(0,5385) \approx 32,57^\circ