T1: Interacción gravitatoria

Energía y Trabajo

Problema

2019 · Ordinaria · Titular

1B-b

b) Se quiere hacer subir un objeto de

100 \text{ kg}

una altura de

20 \text{ m}

. Para ello se usa una rampa que forma un ángulo de

30^{\circ}

con la horizontal. Determine: i) El trabajo necesario para subir el objeto si no hay rozamiento. ii) El trabajo necesario para subir el objeto si el coeficiente de rozamiento es

0,2

Dato: $g = 9,8 \text{ m} \cdot \text{s}^{-2}$

Plano inclinadoTrabajo mecánicoFuerza de rozamiento

b) i) El trabajo necesario para subir el objeto si no hay rozamiento.

Para subir un objeto una altura $h$ , el trabajo realizado en ausencia de rozamiento es igual al cambio en su energía potencial gravitatoria.

W = \Delta E_p = mgh

Sustituyendo los valores dados:

\begin{gathered} W = (100 \text{ kg}) \cdot (9,8 \text{ m} \cdot \text{s}^{-2}) \cdot (20 \text{ m}) \\ W = 19600 \text{ J} \end{gathered}

b) ii) El trabajo necesario para subir el objeto si el coeficiente de rozamiento es

0,2

Primero, calculamos la longitud de la rampa ( $L$ ) usando el ángulo de inclinación $\theta = 30^\circ$ y la altura $h = 20 \text{ m}$ .

\begin{gathered} \sin(\theta) = \frac{h}{L} \Rightarrow L = \frac{h}{\sin(\theta)} \\ L = \frac{20 \text{ m}}{\sin(30^\circ)} = \frac{20 \text{ m}}{0,5} = 40 \text{ m} \end{gathered}

Ahora, consideremos las fuerzas que actúan sobre el objeto. El diagrama de fuerzas es el siguiente:

Las fuerzas relevantes para el movimiento son la componente del peso paralela a la rampa ( $P_x$ ), la fuerza de rozamiento ( $F_r$ ) y la fuerza normal ( $N$ ). Componentes del peso: $P_x = mg\sin(\theta)$ $P_y = mg\cos(\theta)$

\begin{gathered} P_x = (100 \text{ kg}) \cdot (9,8 \text{ m} \cdot \text{s}^{-2}) \cdot \sin(30^\circ) = 100 \cdot 9,8 \cdot 0,5 = 490 \text{ N} \\ P_y = (100 \text{ kg}) \cdot (9,8 \text{ m} \cdot \text{s}^{-2}) \cdot \cos(30^\circ) = 100 \cdot 9,8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 848,7 \text{ N} \end{gathered}

La fuerza normal es igual en magnitud a $P_y$ ya que no hay movimiento perpendicular al plano:

N = P_y = 848,7 \text{ N}

La fuerza de rozamiento se calcula como $F_r = \mu N$ , donde $\mu = 0,2$ .

F_r = 0,2 \cdot 848,7 \text{ N} \approx 169,74 \text{ N}

Para subir el objeto a velocidad constante (o con aceleración despreciable), la fuerza aplicada ( $F_a$ ) debe contrarrestar tanto la componente del peso $P_x$ como la fuerza de rozamiento $F_r$ .

\begin{gathered} F_a = P_x + F_r \\ F_a = 490 \text{ N} + 169,74 \text{ N} = 659,74 \text{ N} \end{gathered}

El trabajo total realizado para subir el objeto es el producto de esta fuerza por la distancia recorrida a lo largo de la rampa ( $L$ ). $W = F_a \cdot L$

\begin{gathered} W = (659,74 \text{ N}) \cdot (40 \text{ m}) \\ W = 26389,6 \text{ J} \end{gathered}