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T3: Geometría
Geometría analítica
Problema
2020 · Ordinaria · Suplente
4
Examen

Considera los puntos A(t,2,−1)A(t, 2, -1), B(0,1,1)B(0, 1, 1), C(−1,0,2)C(-1, 0, 2) y D(2,3,−t−1)D(2, 3, -t - 1).

a) Calcula el valor o valores de tt para que el volumen del tetraedro de vértices A,B,C,DA, B, C, D sea 5 unidades cúbicas.b) Para t=0t = 0, calcula la distancia del punto AA a la recta determinada por los puntos BB y CC.
TetraedroVolumenDistancia+1
a) Calcula el valor o valores de tt para que el volumen del tetraedro de vértices A,B,C,DA, B, C, D sea 5 unidades cúbicas.

Para calcular el volumen de un tetraedro, utilizamos la fórmula V=16∣[AB⃗,AC⃗,AD⃗]∣V = \frac{1}{6} |[\vec{AB}, \vec{AC}, \vec{AD}]|, donde [AB⃗,AC⃗,AD⃗][\vec{AB}, \vec{AC}, \vec{AD}] es el producto mixto de los vectores.Primero, calculamos los vectores que forman el tetraedro desde el vértice A(t,2,−1)A(t, 2, -1):

AB⃗=B−A=(0−t,1−2,1−(−1))=(−t,−1,2)\vec{AB} = B - A = (0-t, 1-2, 1-(-1)) = (-t, -1, 2)
AC⃗=C−A=(−1−t,0−2,2−(−1))=(−1−t,−2,3)\vec{AC} = C - A = (-1-t, 0-2, 2-(-1)) = (-1-t, -2, 3)
AD⃗=D−A=(2−t,3−2,−t−1−(−1))=(2−t,1,−t)\vec{AD} = D - A = (2-t, 3-2, -t-1-(-1)) = (2-t, 1, -t)

A continuación, calculamos el producto mixto de estos tres vectores, que es el determinante de la matriz formada por sus coordenadas:

[AB⃗,AC⃗,AD⃗]=∣−t−12−1−t−232−t1−t∣[\vec{AB}, \vec{AC}, \vec{AD}] = \begin{vmatrix} -t & -1 & 2 \\ -1-t & -2 & 3 \\ 2-t & 1 & -t \end{vmatrix}
=−t((−2)(−t)−(3)(1))−(−1)((−1−t)(−t)−(3)(2−t))+2((−1−t)(1)−(−2)(2−t))= -t((-2)(-t) - (3)(1)) - (-1)((-1-t)(-t) - (3)(2-t)) + 2((-1-t)(1) - (-2)(2-t))
=−t(2t−3)+(t2+t−6+3t)+2(−1−t+4−2t)= -t(2t - 3) + (t^2 + t - 6 + 3t) + 2(-1-t + 4 - 2t)
=−2t2+3t+t2+4t−6+6−6t= -2t^2 + 3t + t^2 + 4t - 6 + 6 - 6t
=−t2+t= -t^2 + t

Ahora, igualamos la fórmula del volumen a 5 unidades cúbicas:

V=16∣−t2+t∣=5V = \frac{1}{6} |-t^2 + t| = 5
∣−t2+t∣=30|-t^2 + t| = 30

Esto nos lleva a dos posibles ecuaciones:Caso 1: −t2+t=30-t^2 + t = 30

t2−t+30=0t^2 - t + 30 = 0

Calculamos el discriminante de esta ecuación cuadrática: Δ=(−1)2−4(1)(30)=1−120=−119\Delta = (-1)^2 - 4(1)(30) = 1 - 120 = -119. Como Δ<0\Delta < 0, no hay soluciones reales en este caso.Caso 2: −t2+t=−30-t^2 + t = -30

t2−t−30=0t^2 - t - 30 = 0

Resolvemos la ecuación cuadrática utilizando la fórmula general:

t=−(−1)±(−1)2−4(1)(−30)2(1)t = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4(1)(-30)}}{2(1)}
t=1±1+1202t = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 120}}{2}
t=1±1212t = \frac{1 \pm \sqrt{121}}{2}
t=1±112t = \frac{1 \pm 11}{2}
t1=1+112=122=6t_1 = \frac{1 + 11}{2} = \frac{12}{2} = 6
t2=1−112=−102=−5t_2 = \frac{1 - 11}{2} = \frac{-10}{2} = -5

Por lo tanto, los valores de tt para los cuales el volumen del tetraedro es 5 unidades cúbicas son t=6t = 6 y t=−5t = -5.

b) Para t=0t = 0, calcula la distancia del punto AA a la recta determinada por los puntos BB y CC.

Para t=0t=0, el punto AA es A(0,2,−1)A(0, 2, -1). Los puntos BB y CC son B(0,1,1)B(0, 1, 1) y C(−1,0,2)C(-1, 0, 2).Definimos la recta rr que pasa por BB y CC. Un punto de la recta es P=B(0,1,1)P = B(0, 1, 1) y su vector director es v⃗=BC⃗\vec{v} = \vec{BC}.

BC⃗=C−B=(−1−0,0−1,2−1)=(−1,−1,1)\vec{BC} = C - B = (-1-0, 0-1, 2-1) = (-1, -1, 1)

La distancia de un punto AA a una recta rr que pasa por un punto PP y tiene un vector director v⃗\vec{v} se calcula con la fórmula:

d(A,r)=∣PA⃗×v⃗∣∣v⃗∣d(A, r) = \frac{|\vec{PA} \times \vec{v}|}{|\vec{v}|}

Calculamos el vector BA⃗\vec{BA} (que es PA⃗\vec{PA} en nuestra notación, usando BB como punto de la recta):

BA⃗=A−B=(0−0,2−1,−1−1)=(0,1,−2)\vec{BA} = A - B = (0-0, 2-1, -1-1) = (0, 1, -2)

Calculamos el producto vectorial de BA⃗\vec{BA} y BC⃗\vec{BC}:

BA⃗×BC⃗=∣ijk01−2−1−11∣\vec{BA} \times \vec{BC} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 0 & 1 & -2 \\ -1 & -1 & 1 \end{vmatrix}
=i((1)(1)−(−2)(−1))−j((0)(1)−(−2)(−1))+k((0)(−1)−(1)(−1))= \mathbf{i}((1)(1) - (-2)(-1)) - \mathbf{j}((0)(1) - (-2)(-1)) + \mathbf{k}((0)(-1) - (1)(-1))
=i(1−2)−j(0−2)+k(0+1)= \mathbf{i}(1 - 2) - \mathbf{j}(0 - 2) + \mathbf{k}(0 + 1)
=−i+2j+k=(−1,2,1)= -\mathbf{i} + 2\mathbf{j} + \mathbf{k} = (-1, 2, 1)

Calculamos el módulo del producto vectorial:

∣BA⃗×BC⃗∣=(−1)2+22+12=1+4+1=6|\vec{BA} \times \vec{BC}| = \sqrt{(-1)^2 + 2^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 4 + 1} = \sqrt{6}

Calculamos el módulo del vector director BC⃗\vec{BC}:

∣BC⃗∣=(−1)2+(−1)2+12=1+1+1=3|\vec{BC}| = \sqrt{(-1)^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 1 + 1} = \sqrt{3}

Finalmente, calculamos la distancia:

d(A,r)=63=63=2d(A, r) = \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{3}} = \sqrt{\frac{6}{3}} = \sqrt{2}

La distancia del punto AA a la recta determinada por BB y CC es 2\sqrt{2} unidades.