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T2: Interacción electromagnética
Dinámica de cargas puntuales
Problema
2021 · Ordinaria · Reserva
B.2-b
Examen
b) Una partícula con carga q1=3⋅10−6 Cq_1 = 3 \cdot 10^{-6} \text{ C} está fija en el punto (2,0) m(2,0) \text{ m} del plano XYXY. En el punto (5,0) m(5,0) \text{ m}, se abandona una partícula con carga q2=5⋅10−6 Cq_2 = 5 \cdot 10^{-6} \text{ C} y masa m=1,5⋅10−4 kgm = 1,5 \cdot 10^{-4} \text{ kg}. Calcule razonadamente: i) El módulo de la velocidad que adquiere q2q_2 en el infinito si q1q_1 está fija. ii) El valor de la carga q3q_3 que debería tener una tercera partícula situada en el punto (0,0) m(0,0) \text{ m}, para que q2q_2 no se mueva al ser soltada en el punto (5,0) m(5,0) \text{ m}.

K=9⋅109 N⋅m2⋅C−2K = 9 \cdot 10^9 \text{ N} \cdot \text{m}^2 \cdot \text{C}^{-2}

Conservación de la energíaPotencial eléctricoLey de Coulomb
b) i) El módulo de la velocidad que adquiere q2q_2 en el infinito si q1q_1 está fija.

Consideramos el sistema formado por las cargas q1q_1 y q2q_2. Al ser la fuerza electrostática una fuerza conservativa, se puede aplicar el principio de conservación de la energía mecánica. La energía mecánica inicial EiE_i (cuando q2q_2 está en (5,0) m(5,0) \text{ m} en reposo) será igual a la energía mecánica final EfE_f (cuando q2q_2 está en el infinito con velocidad vfv_f). La energía mecánica se define como la suma de la energía cinética (KK) y la energía potencial eléctrica (UU):

Ei=Ef  ⟹  Ki+Ui=Kf+UfE_i = E_f \implies K_i + U_i = K_f + U_f

Datos:

q1=3⋅10−6 Cen (2,0) mq_1 = 3 \cdot 10^{-6} \text{ C} \quad \text{en } (2,0) \text{ m} \\
q2=5⋅10−6 Cen (5,0) m(inicialmente)q_2 = 5 \cdot 10^{-6} \text{ C} \quad \text{en } (5,0) \text{ m} \quad \text{(inicialmente)} \\
m=1,5⋅10−4 kgm = 1,5 \cdot 10^{-4} \text{ kg} \\
K=9⋅109 N⋅m2⋅C−2K = 9 \cdot 10^9 \text{ N} \cdot \text{m}^2 \cdot \text{C}^{-2}

La distancia inicial entre las cargas q1q_1 y q2q_2 es ri=∣5 m−2 m∣=3 mr_i = |5 \text{ m} - 2 \text{ m}| = 3 \text{ m}. Energía cinética inicial (q2q_2 se abandona desde el reposo):

Ki=12mvi2=0K_i = \frac{1}{2} m v_i^2 = 0

Energía potencial eléctrica inicial:

Ui=Kq1q2riU_i = K \frac{q_1 q_2}{r_i}

Sustituyendo los valores:

Ui=(9⋅109 N⋅m2⋅C−2)(3⋅10−6 C)(5⋅10−6 C)3 m=0,045 JU_i = (9 \cdot 10^9 \text{ N} \cdot \text{m}^2 \cdot \text{C}^{-2}) \frac{(3 \cdot 10^{-6} \text{ C})(5 \cdot 10^{-6} \text{ C})}{3 \text{ m}} = 0,045 \text{ J}

En el infinito, la energía potencial eléctrica de la carga q2q_2 debido a q1q_1 es cero (Uf=0U_f = 0). La energía cinética final será Kf=12mvf2K_f = \frac{1}{2} m v_f^2.Aplicando la conservación de la energía mecánica:

0+Ui=12mvf2+00 + U_i = \frac{1}{2} m v_f^2 + 0
0,045 J=12(1,5⋅10−4 kg)vf20,045 \text{ J} = \frac{1}{2} (1,5 \cdot 10^{-4} \text{ kg}) v_f^2

Despejando vfv_f:

vf2=2⋅0,045 J1,5⋅10−4 kg=0,09 J1,5⋅10−4 kg=600 m2⋅s−2v_f^2 = \frac{2 \cdot 0,045 \text{ J}}{1,5 \cdot 10^{-4} \text{ kg}} = \frac{0,09 \text{ J}}{1,5 \cdot 10^{-4} \text{ kg}} = 600 \text{ m}^2 \cdot \text{s}^{-2}
vf=600 m⋅s−1≈24,49 m⋅s−1v_f = \sqrt{600} \text{ m} \cdot \text{s}^{-1} \approx 24,49 \text{ m} \cdot \text{s}^{-1}
b) ii) El valor de la carga q3q_3 que debería tener una tercera partícula situada en el punto (0,0) m(0,0) \text{ m}, para que q2q_2 no se mueva al ser soltada en el punto (5,0) m(5,0) \text{ m}.

Para que la carga q2q_2 permanezca en reposo al ser soltada, la fuerza neta sobre ella debe ser cero. Esto significa que la suma vectorial de la fuerza electrostática ejercida por q1q_1 sobre q2q_2 (F⃗12\vec{F}_{12}) y la fuerza electrostática ejercida por q3q_3 sobre q2q_2 (F⃗32\vec{F}_{32}) debe ser nula:

F⃗neta=F⃗12+F⃗32=0\vec{F}_{neta} = \vec{F}_{12} + \vec{F}_{32} = 0

Calculamos primero la fuerza F⃗12\vec{F}_{12}. Ambas cargas q1=3⋅10−6 Cq_1 = 3 \cdot 10^{-6} \text{ C} y q2=5⋅10−6 Cq_2 = 5 \cdot 10^{-6} \text{ C} son positivas. Por lo tanto, la fuerza entre ellas es repulsiva y apunta en la dirección positiva del eje X (alejándose de q1q_1). Posición de q1q_1: (2,0) m(2,0) \text{ m} Posición de q2q_2: (5,0) m(5,0) \text{ m} El vector de posición relativo de q2q_2 respecto a q1q_1 es r⃗12=(5−2)i^=3i^ m\vec{r}_{12} = (5-2) \hat{i} = 3 \hat{i} \text{ m}. El módulo de la distancia es r12=3 mr_{12} = 3 \text{ m}.

F⃗12=Kq1q2r122i^\vec{F}_{12} = K \frac{q_1 q_2}{r_{12}^2} \hat{i}
F⃗12=(9⋅109 N⋅m2⋅C−2)(3⋅10−6 C)(5⋅10−6 C)(3 m)2i^\vec{F}_{12} = (9 \cdot 10^9 \text{ N} \cdot \text{m}^2 \cdot \text{C}^{-2}) \frac{(3 \cdot 10^{-6} \text{ C})(5 \cdot 10^{-6} \text{ C})}{(3 \text{ m})^2} \hat{i}
F⃗12=(9⋅109)15⋅10−129i^ N=15⋅10−3i^ N\vec{F}_{12} = (9 \cdot 10^9) \frac{15 \cdot 10^{-12}}{9} \hat{i} \text{ N} = 15 \cdot 10^{-3} \hat{i} \text{ N}

Para que la fuerza neta sobre q2q_2 sea cero, la fuerza F⃗32\vec{F}_{32} debe ser igual y opuesta a F⃗12\vec{F}_{12}:

F⃗32=−F⃗12=−15⋅10−3i^ N\vec{F}_{32} = - \vec{F}_{12} = -15 \cdot 10^{-3} \hat{i} \text{ N}

Esto significa que q3q_3 debe ejercer una fuerza atractiva sobre q2q_2 (que es positiva). Por lo tanto, la carga q3q_3 debe ser negativa.Posición de q3q_3: (0,0) m(0,0) \text{ m} Posición de q2q_2: (5,0) m(5,0) \text{ m} El módulo de la distancia entre q3q_3 y q2q_2 es r32=∣5 m−0 m∣=5 mr_{32} = |5 \text{ m} - 0 \text{ m}| = 5 \text{ m}.El módulo de la fuerza F⃗32\vec{F}_{32} es 15⋅10−3 N15 \cdot 10^{-3} \text{ N}. Usamos la ley de Coulomb para determinar el valor de ∣q3∣|q_3|:

∣F⃗32∣=K∣q3∣q2r322|\vec{F}_{32}| = K \frac{|q_3| q_2}{r_{32}^2}
15⋅10−3 N=(9⋅109 N⋅m2⋅C−2)∣q3∣(5⋅10−6 C)(5 m)215 \cdot 10^{-3} \text{ N} = (9 \cdot 10^9 \text{ N} \cdot \text{m}^2 \cdot \text{C}^{-2}) \frac{|q_3| (5 \cdot 10^{-6} \text{ C})}{(5 \text{ m})^2}
15⋅10−3=9⋅1095⋅10−625∣q3∣15 \cdot 10^{-3} = 9 \cdot 10^9 \frac{5 \cdot 10^{-6}}{25} |q_3|
15⋅10−3=9⋅109⋅(0,2⋅10−6)∣q3∣15 \cdot 10^{-3} = 9 \cdot 10^9 \cdot (0,2 \cdot 10^{-6}) |q_3|
15⋅10−3=1,8⋅103∣q3∣15 \cdot 10^{-3} = 1,8 \cdot 10^3 |q_3|
∣q3∣=15⋅10−31,8⋅103 C=151800 C=1120 C≈8,33⋅10−3 C|q_3| = \frac{15 \cdot 10^{-3}}{1,8 \cdot 10^3} \text{ C} = \frac{15}{1800} \text{ C} = \frac{1}{120} \text{ C} \approx 8,33 \cdot 10^{-3} \text{ C}

Oops, there was a miscalculation previously in my thoughts, let's recheck the exponent calculation: 15⋅10−3=9⋅1095⋅10−625∣q3∣15 \cdot 10^{-3} = 9 \cdot 10^9 \frac{5 \cdot 10^{-6}}{25} |q_3| 15⋅10−3=(9⋅109)⋅(0.2⋅10−6)∣q3∣15 \cdot 10^{-3} = (9 \cdot 10^9) \cdot (0.2 \cdot 10^{-6}) |q_3| 15⋅10−3=(1.8⋅103)∣q3∣15 \cdot 10^{-3} = (1.8 \cdot 10^3) |q_3| ∣q3∣=15⋅10−31.8⋅103=151.8⋅10−6=8.333...⋅10−6 C|q_3| = \frac{15 \cdot 10^{-3}}{1.8 \cdot 10^3} = \frac{15}{1.8} \cdot 10^{-6} = 8.333... \cdot 10^{-6} \text{ C}. My previous calculation was correct until the exponent part. Let's use the fraction form for precision.

∣q3∣=15⋅10−3⋅259⋅109⋅5⋅10−6 C=15⋅2545⋅103⋅10−3 C=37545⋅10−6 C|q_3| = \frac{15 \cdot 10^{-3} \cdot 25}{9 \cdot 10^9 \cdot 5 \cdot 10^{-6}} \text{ C} = \frac{15 \cdot 25}{45 \cdot 10^3} \cdot 10^{-3} \text{ C} = \frac{375}{45} \cdot 10^{-6} \text{ C}
∣q3∣=253⋅10−6 C|q_3| = \frac{25}{3} \cdot 10^{-6} \text{ C}

Dado que q3q_3 debe ser negativa para que la fuerza sea atractiva y equilibre a F⃗12\vec{F}_{12}:

q3=−253⋅10−6 C≈−8,33⋅10−6 Cq_3 = -\frac{25}{3} \cdot 10^{-6} \text{ C} \approx -8,33 \cdot 10^{-6} \text{ C}