Consideramos el sistema formado por las cargas $q_1$ y $q_2$. Al ser la fuerza electrostática una fuerza conservativa, se puede aplicar el principio de conservación de la energía mecánica. La energía mecánica inicial $E_i$ (cuando $q_2$ está en $(5,0) \text{ m}$ en reposo) será igual a la energía mecánica final $E_f$ (cuando $q_2$ está en el infinito con velocidad $v_f$). La energía mecánica se define como la suma de la energía cinética ($K$) y la energía potencial eléctrica ($U$):

Datos:

La distancia inicial entre las cargas $q_1$ y $q_2$ es $r_i = |5 \text{ m} - 2 \text{ m}| = 3 \text{ m}$. Energía cinética inicial ($q_2$ se abandona desde el reposo):

Energía potencial eléctrica inicial:

Sustituyendo los valores:

En el infinito, la energía potencial eléctrica de la carga $q_2$ debido a $q_1$ es cero ($U_f = 0$). La energía cinética final será $K_f = \frac{1}{2} m v_f^2$.Aplicando la conservación de la energía mecánica:

Despejando $v_f$:

Para que la carga $q_2$ permanezca en reposo al ser soltada, la fuerza neta sobre ella debe ser cero. Esto significa que la suma vectorial de la fuerza electrostática ejercida por $q_1$ sobre $q_2$ ($\vec{F}_{12}$) y la fuerza electrostática ejercida por $q_3$ sobre $q_2$ ($\vec{F}_{32}$) debe ser nula:

Calculamos primero la fuerza $\vec{F}_{12}$. Ambas cargas $q_1 = 3 \cdot 10^{-6} \text{ C}$ y $q_2 = 5 \cdot 10^{-6} \text{ C}$ son positivas. Por lo tanto, la fuerza entre ellas es repulsiva y apunta en la dirección positiva del eje X (alejándose de $q_1$). Posición de $q_1$: $(2,0) \text{ m}$ Posición de $q_2$: $(5,0) \text{ m}$ El vector de posición relativo de $q_2$ respecto a $q_1$ es $\vec{r}_{12} = (5-2) \hat{i} = 3 \hat{i} \text{ m}$. El módulo de la distancia es $r_{12} = 3 \text{ m}$.

Para que la fuerza neta sobre $q_2$ sea cero, la fuerza $\vec{F}_{32}$ debe ser igual y opuesta a $\vec{F}_{12}$:

Esto significa que $q_3$ debe ejercer una fuerza atractiva sobre $q_2$ (que es positiva). Por lo tanto, la carga $q_3$ debe ser negativa.Posición de $q_3$: $(0,0) \text{ m}$ Posición de $q_2$: $(5,0) \text{ m}$ El módulo de la distancia entre $q_3$ y $q_2$ es $r_{32} = |5 \text{ m} - 0 \text{ m}| = 5 \text{ m}$.El módulo de la fuerza $\vec{F}_{32}$ es $15 \cdot 10^{-3} \text{ N}$. Usamos la ley de Coulomb para determinar el valor de $|q_3|$:

Oops, there was a miscalculation previously in my thoughts, let's recheck the exponent calculation: $15 \cdot 10^{-3} = 9 \cdot 10^9 \frac{5 \cdot 10^{-6}}{25} |q_3|$ $15 \cdot 10^{-3} = (9 \cdot 10^9) \cdot (0.2 \cdot 10^{-6}) |q_3|$ $15 \cdot 10^{-3} = (1.8 \cdot 10^3) |q_3|$ $|q_3| = \frac{15 \cdot 10^{-3}}{1.8 \cdot 10^3} = \frac{15}{1.8} \cdot 10^{-6} = 8.333... \cdot 10^{-6} \text{ C}$. My previous calculation was correct until the exponent part. Let's use the fraction form for precision.

Dado que $q_3$ debe ser negativa para que la fuerza sea atractiva y equilibre a $\vec{F}_{12}$: