Para calcular los puntos de corte de las gráficas de $f(x)$ y $g(x)$, igualamos ambas funciones:

Reordenamos la ecuación para encontrar las raíces:

Sacamos factor común $x$:

Esto nos da una primera solución $x = 0$. Las otras soluciones provienen de la ecuación cuadrática $x^2 + x - 2 = 0$. Aplicamos la fórmula general para las ecuaciones de segundo grado:

Esto nos da dos soluciones adicionales:

Los puntos de corte se encuentran en $x = -2$, $x = 0$ y $x = 1$. Ahora calculamos las coordenadas $y$ correspondientes utilizando $f(x)$ (o $g(x)$):

Los puntos de corte son $(-2, -6)$, $(0, 2)$ y $(1, 3)$.

Para $f(x) = x^3 + 2$:- Es una función cúbica, continua y creciente en todo $\mathbb{R}$ ya que su derivada $f'(x) = 3x^2 \ge 0$ para todo $x \in \mathbb{R}$.- Pasa por los puntos de corte $(-2, -6)$, $(0, 2)$ y $(1, 3)$.- En $x=0$, tiene un punto de inflexión con tangente horizontal (la pendiente es 0).Para $g(x) = -x^2 + 2x + 2$:- Es una parábola con concavidad hacia abajo (coeficiente de $x^2$ es negativo).- Sus puntos de corte con los ejes son: con el eje $y$, $g(0)=2$, es decir $(0,2)$. Con el eje $x$, $-x^2+2x+2=0$, $x^2-2x-2=0$, $x = \frac{2 \pm \sqrt{4-4(1)(-2)}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{12}}{2} = 1 \pm \sqrt{3}$. Aproximadamente $(-0.73, 0)$ y $(2.73, 0)$.- El vértice de la parábola se calcula como $x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2(-1)} = 1$. La coordenada $y$ es $g(1) = -(1)^2 + 2(1) + 2 = -1 + 2 + 2 = 3$. El vértice es $(1, 3)$.- Pasa por los puntos de corte $(-2, -6)$, $(0, 2)$ y $(1, 3)$.

Los puntos de corte en el primer cuadrante (donde $x \ge 0$ y $y \ge 0$) son $(0,2)$ y $(1,3)$. Por lo tanto, el área se calculará en el intervalo de $x$ de $[0, 1]$.Para determinar qué función está por encima de la otra en el intervalo $[0, 1]$, podemos evaluar ambas funciones en un punto intermedio, por ejemplo, $x = 0.5$:

Dado que $g(0.5) > f(0.5)$, la función $g(x)$ está por encima de $f(x)$ en el intervalo $[0, 1]$. El área se calcula mediante la integral definida:

Calculamos la diferencia entre las funciones:

Ahora integramos la expresión resultante:

Evaluamos la primitiva en los límites de integración:

Para sumar las fracciones, encontramos un denominador común, que es 12:

El área del recinto limitado por las gráficas de $f$ y $g$ en el primer cuadrante es $\frac{5}{12}$ unidades cuadradas.