T5: Probabilidad · Probabilidad condicionada y Teorema de Bayes — MATEMATICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II PEvAU Andalucía 2020

Probabilidad condicionada y Teorema de Bayes

Problema

2020 · Extraordinaria · Suplente

Tres personas se encargan de los cobros de la caja de un supermercado. El mes pasado, la primera de ellas realizó el $30\%$ de los cobros, la segunda el $45\%$ y la tercera el resto. La dirección del supermercado ha comprobado que de los cobros realizados por la primera persona, el $1\%$ son erróneos, que la segunda cometió errores en el $3\%$ de los cobros y la tercera en el $2\%$ .

a) Calcule la probabilidad de que un cobro elegido al azar haya sido erróneo.b) Se elige al azar un cobro correcto. ¿Cuál es la probabilidad de que haya sido realizado por la segunda persona?

Probabilidad TotalTeorema de Bayes

Resolución de problema de probabilidad total y Teorema de Bayes

Definimos los sucesos del experimento para organizar los datos proporcionados: $C_1$ : El cobro es realizado por la primera persona. $C_2$ : El cobro es realizado por la segunda persona. $C_3$ : El cobro es realizado por la tercera persona. $E$ : El cobro contiene un error. $\bar{E}$ : El cobro es correcto (no tiene errores).A partir del enunciado, extraemos las probabilidades a priori y las probabilidades condicionadas. La probabilidad de $C_3$ se obtiene restando a la unidad las probabilidades de las otras dos personas: $P(C_3) = 1 - 0,30 - 0,45 = 0,25$ .

P(C_1) = 0,30; \quad P(C_2) = 0,45; \quad P(C_3) = 0,25

P(E | C_1) = 0,01; \quad P(E | C_2) = 0,03; \quad P(E | C_3) = 0,02

a) Calcule la probabilidad de que un cobro elegido al azar haya sido erróneo.

Para hallar la probabilidad total de que un cobro sea erróneo, $P(E)$ , utilizamos el Teorema de la Probabilidad Total, sumando las probabilidades de cometer un error en cada una de las cajas:

P(E) = P(C_1) \cdot P(E | C_1) + P(C_2) \cdot P(E | C_2) + P(C_3) \cdot P(E | C_3)

Sustituimos los valores numéricos:

P(E) = (0,30 \cdot 0,01) + (0,45 \cdot 0,03) + (0,25 \cdot 0,02)

P(E) = 0,003 + 0,0135 + 0,005 = 0,0215

La probabilidad de que un cobro elegido al azar sea erróneo es del $2,15\%$ .

b) Se elige al azar un cobro correcto. ¿Cuál es la probabilidad de que haya sido realizado por la segunda persona?

Se trata de una probabilidad a posteriori, por lo que aplicamos el Teorema de Bayes. Buscamos $P(C_2 | \bar{E})$ . Primero calculamos las probabilidades de los sucesos complementarios (cobros correctos):

P(\bar{E}) = 1 - P(E) = 1 - 0,0215 = 0,9785

P(\bar{E} | C_2) = 1 - P(E | C_2) = 1 - 0,03 = 0,97

Aplicamos la fórmula de Bayes para el suceso pedido:

P(C_2 | \bar{E}) = \frac{P(C_2) \cdot P(\bar{E} | C_2)}{P(\bar{E})}

P(C_2 | \bar{E}) = \frac{0,45 \cdot 0,97}{0,9785} = \frac{0,4365}{0,9785}

P(C_2 | \bar{E}) \approx 0,4461

La probabilidad de que el cobro haya sido realizado por la segunda persona, sabiendo que es un cobro correcto, es aproximadamente $0,4461$ (o $44,61\%$ ).