T3: Programación lineal · Optimización — MATEMATICA APLICADAS A LAS CIENCIA SOCIALES II PEvAU Andalucía 2021

Optimización

Problema

2021 · Ordinaria · Reserva

BLOQUE A

Una frutería vende dos tipos de surtidos de frutos rojos, $A$ y $B$ . El surtido de tipo $A$ contiene $75 \text{ g}$ de arándanos, $100 \text{ g}$ de frambuesas y se vende a $2.40$ euros, mientras que el de tipo $B$ contiene $75 \text{ g}$ de arándanos, $50 \text{ g}$ de frambuesas y se vende a $1.80$ euros. La frutería dispone de un total de $3.75 \text{ kg}$ de arándanos y $4 \text{ kg}$ de frambuesas y el número de surtidos que vende del tipo $A$ , siempre es menor o igual al doble de los del tipo $B$ .

a) Formule, sin resolver, el problema que permite obtener el número de surtidos de cada tipo que debe vender para que el beneficio sea máximo.b) Represente el recinto limitado por las siguientes restricciones, calculando sus vértices:

x + 4y \geq 5 \quad x + 2y \geq 4 \quad 7x + 5y \leq 35 \quad x \geq 0

¿En qué punto de la región anterior la función $F(x, y) = 2x + y$ alcanza el mínimo y cuál es dicho valor?

Programación linealOptimizaciónMaximización de beneficios

a) Formule, sin resolver, el problema que permite obtener el número de surtidos de cada tipo que debe vender para que el beneficio sea máximo.

En primer lugar, definimos las variables de decisión del problema: $x$ : número de surtidos vendidos del tipo $A$ . $y$ : número de surtidos vendidos del tipo $B$ .La función objetivo a maximizar es el beneficio total obtenido por la venta de los surtidos:

f(x, y) = 2.40x + 1.80y

Las restricciones se derivan de la disponibilidad de ingredientes (en gramos) y la condición de venta:Arándanos: $75x + 75y \leq 3750$ (simplificado como $x + y \leq 50$ ) Frambuesas: $100x + 50y \leq 4000$ (simplificado como $2x + y \leq 80$ ) Condición de venta: $x \leq 2y$ No negatividad: $x \geq 0, y \geq 0$

b) Represente el recinto limitado por las siguientes restricciones, calculando sus vértices:

x + 4y \geq 5

x + 2y \geq 4

7x + 5y \leq 35

x \geq 0

. ¿En qué punto de la región anterior la función

F(x, y) = 2x + y

alcanza el mínimo y cuál es dicho valor?

Calculamos los vértices de la región factible resolviendo los sistemas de ecuaciones de las rectas que se intersecan:1. Intersección de $x=0$ con $7x+5y=35$ : $5y=35 \implies y=7$ . Vértice $D(0, 7)$ . 2. Intersección de $x=0$ con $x+2y=4$ : $2y=4 \implies y=2$ . Vértice $C(0, 2)$ . 3. Intersección de $x+2y=4$ y $x+4y=5$ : Restando las ecuaciones, $2y=1 \implies y=0.5$ ; sustituyendo, $x=3$ . Vértice $A(3, 0.5)$ . 4. Intersección de $x+4y=5$ y $7x+5y=35$ : Multiplicando la primera por $7$ : $7x+28y=35$ . Restando con la segunda: $23y=0 \implies y=0$ ; sustituyendo, $x=5$ . Vértice $B(5, 0)$ .

Para hallar el mínimo de la función $F(x, y) = 2x + y$ , evaluamos la función en cada uno de los vértices hallados: $F(0, 7) = 2(0) + 7 = 7$ $F(0, 2) = 2(0) + 2 = 2$ $F(3, 0.5) = 2(3) + 0.5 = 6.5$ $F(5, 0) = 2(5) + 0 = 10$ El valor mínimo de la función es $2$ y se alcanza en el punto $(0, 2)$ .