La matriz de coeficientes $A$ y la matriz ampliada $(A|B)$ del sistema son:

Calculamos el determinante de la matriz de coeficientes $A$:

Igualamos el determinante a cero para encontrar los valores críticos de $m$:

Discutimos el sistema según estos valores:Caso 1: Si $m \neq 0$ y $m \neq -\frac{5}{2}$.En este caso, $\det(A) \neq 0$, lo que implica que el rango de $A$ es 3 ($\text{rg}(A) = 3$). Como el número de incógnitas es 3 y el rango de la matriz ampliada no puede ser mayor que el de la matriz de coeficientes, entonces $\text{rg}(A|B) = 3$. Por el Teorema de Rouché-Frobenius, el sistema es compatible determinado (tiene una única solución).Caso 2: Si $m = 0$.Sustituimos $m = 0$ en las matrices $A$ y $(A|B)$:

Ya sabemos que $\det(A) = 0$, así que $\text{rg}(A) < 3$. Consideramos el menor de orden 2 de $A$ formado por las filas 2 y 3 y las columnas 1 y 2:

Por lo tanto, $\text{rg}(A) = 2$. Ahora, para el rango de la matriz ampliada $(A|B)$, consideramos el determinante del menor de orden 3 que incluye la columna de términos independientes (columnas 1, 2 y 4):

Dado que $\det(A)=0$ y el menor de orden 3 formado por las columnas 1, 2 y 4 también es cero, y el menor formado por las columnas 1, 3 y 4 también resulta ser cero (verificación no mostrada), entonces $\text{rg}(A|B) = 2$. Como $\text{rg}(A) = \text{rg}(A|B) = 2 < 3$ (número de incógnitas), el sistema es compatible indeterminado (tiene infinitas soluciones).Caso 3: Si $m = -\frac{5}{2}$.Sustituimos $m = -\frac{5}{2}$ en las matrices $A$ y $(A|B)$:

Ya sabemos que $\det(A) = 0$, así que $\text{rg}(A) < 3$. Consideramos el menor de orden 2 de $A$ formado por las filas 1 y 3 y las columnas 1 y 2:

Por lo tanto, $\text{rg}(A) = 2$. Ahora, para el rango de la matriz ampliada $(A|B)$, consideramos el determinante del menor de orden 3 que incluye la columna de términos independientes (columnas 1, 2 y 4):

Por lo tanto, $\text{rg}(A|B) = 3$. Como $\text{rg}(A) = 2 \neq \text{rg}(A|B) = 3$, el sistema es incompatible (no tiene solución).

Para $m = 0$, el sistema de ecuaciones lineales es:

De la ecuación (3) obtenemos directamente el valor de $x$:

Sustituimos $x = \frac{2}{5}$ en la ecuación (2):

Observamos que la ecuación (4) es idéntica a la ecuación (1). Esto significa que tenemos un sistema con menos ecuaciones linealmente independientes que incógnitas, lo que corresponde a un sistema compatible indeterminado. De la ecuación $2y - z = 1$, podemos expresar $z$ en función de $y$:

Si tomamos $y = \lambda$, donde $\lambda \in \mathbb{R}$, las soluciones del sistema para $m = 0$ son:

¿Hay alguna solución en la que $x = 0$? De la solución general obtenida para $m=0$, el valor de $x$ es $x = \frac{2}{5}$. Dado que $\frac{2}{5} \neq 0$, no existe ninguna solución en la que $x = 0$ para este valor de $m$.