T1: Interacción gravitatoria

Energía y trabajo

Problema

2020 · Ordinaria · Suplente

5-b

5. b) Un bloque de {{masa}} kg de masa asciende con una velocidad inicial de {{velocidad}} m s-1 por un plano inclinado que forma un ángulo de {{angulo}}º con la horizontal. El coeficiente de rozamiento entre el bloque y el plano es de {{rozamiento}}. i) Represente un esquema con todas las fuerzas que actúan sobre el bloque durante la subida. ii) Determine, mediante consideraciones energéticas, la distancia que recorre el bloque por el plano hasta detenerse. iii) Determine el trabajo realizado por la fuerza de rozamiento en ese desplazamiento.

Dato: $g = 9,8 \text{ m s}^{-2}$

Plano inclinadoTeorema del trabajo y la energía

i) Representación de las fuerzas que actúan sobre el bloque durante la subida.

Las fuerzas que actúan sobre el bloque durante la subida son:- $P$ : Peso del bloque, con dirección vertical hacia abajo y módulo $P = mg$ .- $N$ : Fuerza normal, perpendicular al plano inclinado y con sentido hacia afuera de la superficie.- $f_r$ : Fuerza de rozamiento, paralela al plano y opuesta al sentido del movimiento. Dado que el bloque asciende, la fuerza de rozamiento apunta hacia abajo por el plano.

ii) Determinación de la distancia que recorre el bloque por el plano hasta detenerse mediante consideraciones energéticas.

Aplicamos el teorema de las fuerzas no conservativas, que establece que el trabajo realizado por las fuerzas no conservativas ( $W_{nc}$ ) es igual al cambio en la energía mecánica ( $\Delta E_m$ ). En este caso, la única fuerza no conservativa que realiza trabajo es la fuerza de rozamiento ( $W_{f_r}$ ).

W_{nc} = W_{f_r} = \Delta E_m = (E_{k,f} + E_{p,f}) - (E_{k,i} + E_{p,i})

Consideremos el origen de la altura ( $h=0$ ) en la posición inicial del bloque.La energía cinética inicial es: $E_{k,i} = \frac{1}{2} m v_0^2$ La energía potencial inicial es: $E_{p,i} = m g h_i = 0$ Cuando el bloque se detiene, su velocidad final es $v_f = 0$ .La energía cinética final es: $E_{k,f} = 0$ Si el bloque recorre una distancia $d$ por el plano, la altura final alcanzada es $h_f = d \sin(\alpha)$ .La energía potencial final es: $E_{p,f} = m g h_f = m g d \sin(\alpha)$ Para la fuerza de rozamiento, primero necesitamos la fuerza normal $N$ . En la dirección perpendicular al plano, el equilibrio de fuerzas implica que $N = P_y = mg \cos(\alpha)$ .

f_r = \mu N = \mu m g \cos(\alpha)

El trabajo realizado por la fuerza de rozamiento es $W_{f_r} = -f_r \cdot d$ , donde el signo negativo indica que la fuerza de rozamiento se opone al desplazamiento.

W_{f_r} = -\mu m g \cos(\alpha) \cdot d

Sustituyendo todas las expresiones en el teorema de la energía:

-\mu m g \cos(\alpha) \cdot d = (0 + m g d \sin(\alpha)) - (\frac{1}{2} m v_0^2 + 0)

-\mu m g \cos(\alpha) \cdot d = m g d \sin(\alpha) - \frac{1}{2} m v_0^2

Dividiendo toda la ecuación por la masa $m$ (asumiendo $m \neq 0$ ):

-\mu g \cos(\alpha) \cdot d = g d \sin(\alpha) - \frac{1}{2} v_0^2

Reordenando para despejar $d$ :

\frac{1}{2} v_0^2 = g d \sin(\alpha) + \mu g \cos(\alpha) \cdot d

\frac{1}{2} v_0^2 = d (g \sin(\alpha) + \mu g \cos(\alpha))

d = \frac{v_0^2}{2g (\sin(\alpha) + \mu \cos(\alpha))}

Sustituyendo los valores proporcionados en el enunciado:

d = \frac{(\text{{velocidad}} \text{ m/s})^2}{2 \cdot 9,8 \text{ m/s}^2 (\sin(\text{{angulo}}^\circ) + \text{{rozamiento}} \cdot \cos(\text{{angulo}}^\circ))}

iii) Determinación del trabajo realizado por la fuerza de rozamiento en ese desplazamiento.

El trabajo realizado por la fuerza de rozamiento se calculó previamente como:

W_{f_r} = -f_r \cdot d = -\mu m g \cos(\alpha) \cdot d

Sustituyendo la expresión de $d$ obtenida en el apartado anterior:

W_{f_r} = -\mu m g \cos(\alpha) \cdot \left( \frac{v_0^2}{2g (\sin(\alpha) + \mu \cos(\alpha))} \right)

Simplificando la expresión:

W_{f_r} = -\frac{\mu m v_0^2 \cos(\alpha)}{2 (\sin(\alpha) + \mu \cos(\alpha))}

Sustituyendo los valores proporcionados en el enunciado:

W_{f_r} = -\frac{\text{{rozamiento}} \cdot \text{{masa}} \text{ kg} \cdot (\text{{velocidad}} \text{ m/s})^2 \cos(\text{{angulo}}^\circ)}{2 (\sin(\text{{angulo}}^\circ) + \text{{rozamiento}} \cdot \cos(\text{{angulo}}^\circ))}

Este trabajo se expresará en julios (J).