Para hallar el punto simétrico respecto de una recta, primero determinamos la proyección ortogonal $M$ de $P$ sobre $r$. Empezamos expresando la recta $r$ en ecuaciones paramétricas tomando $z = \lambda$:

Un punto genérico $M$ de la recta tiene la forma $M(4 + \lambda, 1 + \lambda, \lambda)$. El vector $\vec{PM}$ que une el punto $P$ con su proyección debe ser perpendicular al vector director de la recta $\vec{v}_r$:

Aplicamos la condición de perpendicularidad mediante el producto escalar:

Resolviendo la ecuación obtenemos $3\lambda = 0$, por lo que $\lambda = 0$. Sustituyendo este valor en el punto genérico, la proyección es $M(4, 1, 0)$.Como $M$ es el punto medio del segmento que une $P$ con su simétrico $P'(x, y, z)$, despejamos $P'$:

Para el simétrico respecto a un plano, trazamos la recta $s$ perpendicular al plano que pasa por $Q$. El vector director de esta recta será el vector normal del plano $\vec{n}_{\pi} = (1, -2, 1)$:

Calculamos el punto de intersección $M'$ entre la recta $s$ y el plano $\pi$ (proyección ortogonal de $Q$ sobre el plano):

Simplificando: $1 + \mu + 2 + 4\mu - 3 + \mu + 6 = 0 \implies 6\mu + 6 = 0 \implies \mu = -1$. El punto de proyección es $M'(0, 1, -4)$.Finalmente, utilizamos la fórmula del punto medio para hallar el simétrico $Q'$: