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T5: Física moderna
Física cuántica
Problema
2021 · Extraordinaria · Suplente
D1-b
Examen

Al iluminar un electrodo de platino con dos haces de luz monocromáticas de longitudes de onda 1,5⋅10−7 m1,5 \cdot 10^{-7}\text{ m} y 1⋅10−7 m1 \cdot 10^{-7}\text{ m}, se observa que la energía cinética máxima de los electrones emitidos es de 3,52 eV3,52\text{ eV} y 7,66 eV7,66\text{ eV}, respectivamente.

b) Determine razonadamente: i) La constante de Planck. ii) La frecuencia umbral del platino.

Datos: c=3⋅108 m s−1c = 3 \cdot 10^8\text{ m s}^{-1}; e=1,6⋅10−19 Ce = 1,6 \cdot 10^{-19}\text{ C}

Efecto fotoeléctricoConstante de PlanckFrecuencia umbral
b) Para determinar la constante de Planck (hh) y la frecuencia umbral (f0f_0) del platino, utilizamos la ecuación del efecto fotoeléctrico de Einstein:
Ek=hf−W0E_k = hf - W_0

donde EkE_k es la energía cinética máxima de los electrones emitidos, hh es la constante de Planck, ff es la frecuencia de la luz incidente y W0W_0 es la función de trabajo del material (platino en este caso). La frecuencia se relaciona con la longitud de onda (λ\lambda) y la velocidad de la luz (cc) mediante la expresión f=c/λf = c/\lambda.Primero, convertimos las energías cinéticas de eV a Joules y calculamos las frecuencias para cada haz de luz:Datos de entrada:

λ1=1,5⋅10−7 m\lambda_1 = 1,5 \cdot 10^{-7} \text{ m}
Ek1=3,52 eVE_{k1} = 3,52 \text{ eV}
λ2=1,0⋅10−7 m\lambda_2 = 1,0 \cdot 10^{-7} \text{ m}
Ek2=7,66 eVE_{k2} = 7,66 \text{ eV}
c=3⋅108 m s−1c = 3 \cdot 10^8 \text{ m s}^{-1}
e=1,6⋅10−19 Ce = 1,6 \cdot 10^{-19} \text{ C}

Conversión de energía cinética:

Ek1=3,52 eV⋅(1,6⋅10−19 J/eV)=5,632⋅10−19 JE_{k1} = 3,52 \text{ eV} \cdot (1,6 \cdot 10^{-19} \text{ J/eV}) = 5,632 \cdot 10^{-19} \text{ J}
Ek2=7,66 eV⋅(1,6⋅10−19 J/eV)=1,2256⋅10−18 JE_{k2} = 7,66 \text{ eV} \cdot (1,6 \cdot 10^{-19} \text{ J/eV}) = 1,2256 \cdot 10^{-18} \text{ J}

Cálculo de las frecuencias de la luz incidente:

f1=cλ1=3⋅108 m/s1,5⋅10−7 m=2,0⋅1015 Hzf_1 = \frac{c}{\lambda_1} = \frac{3 \cdot 10^8 \text{ m/s}}{1,5 \cdot 10^{-7} \text{ m}} = 2,0 \cdot 10^{15} \text{ Hz}
f2=cλ2=3⋅108 m/s1,0⋅10−7 m=3,0⋅1015 Hzf_2 = \frac{c}{\lambda_2} = \frac{3 \cdot 10^8 \text{ m/s}}{1,0 \cdot 10^{-7} \text{ m}} = 3,0 \cdot 10^{15} \text{ Hz}

Ahora, planteamos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas (hh y W0W_0):

(1)5,632⋅10−19=h⋅(2,0⋅1015)−W0(1) \quad 5,632 \cdot 10^{-19} = h \cdot (2,0 \cdot 10^{15}) - W_0
(2)1,2256⋅10−18=h⋅(3,0⋅1015)−W0(2) \quad 1,2256 \cdot 10^{-18} = h \cdot (3,0 \cdot 10^{15}) - W_0

Restamos la ecuación (1) de la ecuación (2) para eliminar W0W_0:

(1,2256⋅10−18)−(5,632⋅10−19)=(3,0⋅1015h)−(2,0⋅1015h)(1,2256 \cdot 10^{-18}) - (5,632 \cdot 10^{-19}) = (3,0 \cdot 10^{15} h) - (2,0 \cdot 10^{15} h)
(12,256⋅10−19)−(5,632⋅10−19)=(1,0⋅1015)h(12,256 \cdot 10^{-19}) - (5,632 \cdot 10^{-19}) = (1,0 \cdot 10^{15}) h
6,624⋅10−19=(1,0⋅1015)h6,624 \cdot 10^{-19} = (1,0 \cdot 10^{15}) h
i) Determinación de la constante de Planck (hh):
h=6,624⋅10−19 J1,0⋅1015 Hz=6,624⋅10−34 J⋅sh = \frac{6,624 \cdot 10^{-19} \text{ J}}{1,0 \cdot 10^{15} \text{ Hz}} = 6,624 \cdot 10^{-34} \text{ J} \cdot \text{s}

Ahora, sustituimos el valor de hh en la ecuación (1) para encontrar la función de trabajo W0W_0:

5,632⋅10−19=(6,624⋅10−34)⋅(2,0⋅1015)−W05,632 \cdot 10^{-19} = (6,624 \cdot 10^{-34}) \cdot (2,0 \cdot 10^{15}) - W_0
5,632⋅10−19=13,248⋅10−19−W05,632 \cdot 10^{-19} = 13,248 \cdot 10^{-19} - W_0
W0=13,248⋅10−19−5,632⋅10−19=7,616⋅10−19 JW_0 = 13,248 \cdot 10^{-19} - 5,632 \cdot 10^{-19} = 7,616 \cdot 10^{-19} \text{ J}

La frecuencia umbral (f0f_0) se relaciona con la función de trabajo mediante la expresión W0=hf0W_0 = hf_0.

ii) Determinación de la frecuencia umbral (f0f_0) del platino:
f0=W0h=7,616⋅10−19 J6,624⋅10−34 J⋅s=1,1498⋅1015 Hzf_0 = \frac{W_0}{h} = \frac{7,616 \cdot 10^{-19} \text{ J}}{6,624 \cdot 10^{-34} \text{ J} \cdot \text{s}} = 1,1498 \cdot 10^{15} \text{ Hz}