T1: Interacción gravitatoria

Órbitas de satélites

Problema

2016 · Extraordinaria · Titular

3A-a

Un satélite artificial de 400 kg describe una órbita circular a una altura h sobre la superficie terrestre. El valor de la gravedad a dicha altura, g, es la tercera parte de su valor en la superficie de la Tierra, $g_0$ .

a) Explique si hay que realizar trabajo para mantener el satélite en esa órbita y calcule el valor de h.

Datos: $g_0 = 9,8 \text{ m/s}^2$ ; $R_T = 6370 \text{ km}$

Campo gravitatorioTrabajoSatélites

Satélite en órbita circular

a) Trabajo necesario para mantener el satélite en órbita

La órbita es circular, por lo que la velocidad del satélite tiene módulo constante. La única fuerza que actúa sobre él es la gravitatoria, que actúa siempre en dirección radial (hacia el centro de la Tierra), es decir, perpendicular al desplazamiento del satélite en todo momento.El trabajo realizado por una fuerza es $W = \vec{F} \cdot \vec{d} = F \cdot d \cdot \cos\theta$ . Como la fuerza gravitatoria es siempre perpendicular al desplazamiento ( $\theta = 90^\circ$ ), se tiene:

W = F \cdot d \cdot \cos 90^\circ = 0

No es necesario realizar trabajo para mantener el satélite en su órbita circular. La fuerza gravitatoria solo cambia la dirección del movimiento, no su rapidez, por lo que no transfiere energía al satélite.

a) Cálculo de la altura h

La gravedad varía con la distancia al centro de la Tierra según la ley de gravitación universal. En la superficie:

g_0 = \frac{GM_T}{R_T^2}

A una altura $h$ , la distancia al centro es $r = R_T + h$ , por lo que:

g = \frac{GM_T}{(R_T + h)^2}

Dividiendo ambas expresiones:

\frac{g}{g_0} = \frac{R_T^2}{(R_T + h)^2}

Como nos dicen que $g = \dfrac{g_0}{3}$ :

\frac{1}{3} = \frac{R_T^2}{(R_T + h)^2}

Despejando $(R_T + h)^2$ :

(R_T + h)^2 = 3 \, R_T^2

R_T + h = \sqrt{3} \, R_T

h = (\sqrt{3} - 1) \, R_T

Sustituyendo $R_T = 6370 \text{ km}$ :

h = (\sqrt{3} - 1) \times 6370 \text{ km} = (1{,}732 - 1) \times 6370 \text{ km}

h = 0{,}732 \times 6370 \text{ km} \approx 4662 \text{ km}

La altura a la que orbita el satélite es $h \approx 4662 \text{ km}$ .