T1: Interacción gravitatoria

Órbitas de satélites

Problema

2020 · Ordinaria · Reserva

5-b

b) Un satélite artificial de

500 \text{ kg}

de masa describe una órbita circular en torno a la Tierra a una velocidad de

4000 \text{ m/s}

. i) Compruebe si se trata de un satélite geoestacionario. ii) Determine la energía mecánica del satélite.

Datos: $G = 6,67 \cdot 10^{-11} \text{ N} \cdot \text{m}^2 / \text{kg}^2$ ; $M_T = 5,98 \cdot 10^{24} \text{ kg}$ ; Periodo de rotación terrestre $= 24 \text{ horas}$

Satélite geoestacionarioEnergía mecánicaMovimiento circular

b) Un satélite artificial de

500 \text{ kg}

de masa describe una órbita circular en torno a la Tierra a una velocidad de

4000 \text{ m/s}

. i) Compruebe si se trata de un satélite geoestacionario. ii) Determine la energía mecánica del satélite.i) Comprobación de si se trata de un satélite geoestacionario.

Un satélite geoestacionario debe tener un periodo de revolución idéntico al periodo de rotación de la Tierra, que es de $24 \text{ horas}$ . Para comprobar esto, primero necesitamos determinar el radio de la órbita del satélite y luego su periodo de revolución.

En una órbita circular, la fuerza gravitatoria entre la Tierra y el satélite proporciona la fuerza centrípeta necesaria para mantener la órbita. Por lo tanto, igualamos las dos fuerzas:

F_g = F_c

G \frac{M_T m}{r^2} = \frac{m v^2}{r}

De esta ecuación, podemos despejar el radio de la órbita ( $r$ ):

r = \frac{G M_T}{v^2}

Sustituyendo los valores dados:

r = \frac{(6,67 \cdot 10^{-11} \text{ N} \cdot \text{m}^2 / \text{kg}^2) \cdot (5,98 \cdot 10^{24} \text{ kg})}{(4000 \text{ m/s})^2}

r = \frac{3,98866 \cdot 10^{14} \text{ N} \cdot \text{m}^2 / \text{kg}}{1,6 \cdot 10^7 \text{ m}^2 / \text{s}^2}

r = 2,4929 \cdot 10^7 \text{ m}

Ahora, calculamos el periodo de revolución ( $T$ ) del satélite usando la relación entre velocidad, radio y periodo:

v = \frac{2 \pi r}{T} \quad \Rightarrow \quad T = \frac{2 \pi r}{v}

Sustituyendo los valores:

T = \frac{2 \pi (2,4929 \cdot 10^7 \text{ m})}{4000 \text{ m/s}}

T = 39159,27 \text{ s}

Convertimos el periodo a horas:

T = 39159,27 \text{ s} \cdot \frac{1 \text{ h}}{3600 \text{ s}} = 10,88 \text{ h}

El periodo de rotación terrestre es $24 \text{ horas}$ . Dado que el periodo de este satélite ( $10,88 \text{ h}$ ) no es igual a $24 \text{ horas}$ , el satélite no es geoestacionario.

ii) Determinación de la energía mecánica del satélite.

La energía mecánica total ( $E_m$ ) de un satélite en órbita es la suma de su energía cinética ( $E_c$ ) y su energía potencial gravitatoria ( $E_p$ ).

E_m = E_c + E_p

La energía cinética se calcula como:

E_c = \frac{1}{2} m v^2

La energía potencial gravitatoria es:

E_p = -G \frac{M_T m}{r}

Para un satélite en órbita circular, sabemos que la fuerza centrípeta es igual a la gravitatoria, lo que implica que $\frac{m v^2}{r} = G \frac{M_T m}{r^2}$ . Simplificando, $m v^2 = G \frac{M_T m}{r}$ . Esta relación nos permite escribir la energía potencial en términos de la energía cinética:

E_p = -G \frac{M_T m}{r} = -m v^2

Por lo tanto, la energía mecánica total para una órbita circular es:

E_m = \frac{1}{2} m v^2 - m v^2 = -\frac{1}{2} m v^2

Sustituyendo los valores de la masa del satélite ( $m = 500 \text{ kg}$ ) y su velocidad ( $v = 4000 \text{ m/s}$ ):

E_m = -\frac{1}{2} (500 \text{ kg}) (4000 \text{ m/s})^2

E_m = -\frac{1}{2} (500 \text{ kg}) (1,6 \cdot 10^7 \text{ m}^2/\text{s}^2)

E_m = -250 \cdot 1,6 \cdot 10^7 \text{ J}

E_m = -4000 \cdot 10^6 \text{ J}

E_m = -4 \cdot 10^9 \text{ J}