AndalucíaAndalucía
MadridMadrid
CataluñaCataluña
GaliciaGalicia
MurciaMurcia
ValenciaValencia
En construcciónAñadimos comunidades, materias, años y soluciones de forma progresiva y constante.
T4: Funciones
Estudio de funciones y cálculo de primitivas
Problema
2020 · Ordinaria · Titular
3
Examen
BLOQUE B

Se considera la función f(x)=ax3+bx+4f(x) = ax^3 + bx + 4, con aa y bb números reales.

a) Determine los valores aa y bb para que ff tenga un extremo relativo en el punto (2,36)(2, 36).b) Para a=4a = 4 y b=−3b = -3, estudie la monotonía de ff y determine sus extremos relativos.c) Para a=4a = 4 y b=−3b = -3, calcule la función F(x)F(x) que verifica F′(x)=f(x)F'(x) = f(x) y F(2)=10F(2) = 10.
Extremos relativosMonotoníaCálculo de primitiva
Resolución de ejercicio de funciones y cálculo integral
a) Determine los valores aa y bb para que ff tenga un extremo relativo en el punto (2,36)(2, 36).

Para que la función f(x)=ax3+bx+4f(x) = ax^3 + bx + 4 tenga un extremo relativo en el punto (2,36)(2, 36), se deben satisfacer dos condiciones: que el punto pertenezca a la gráfica, es decir, f(2)=36f(2) = 36, y que su derivada en ese valor de abscisa sea nula, es decir, f′(2)=0f'(2) = 0.Calculamos primero la derivada genérica de la función:

f′(x)=3ax2+bf'(x) = 3ax^2 + b

Aplicamos las condiciones indicadas para obtener un sistema de ecuaciones:

{f(2)=a(2)3+b(2)+4=36f′(2)=3a(2)2+b=0⇒{8a+2b=3212a+b=0\begin{cases} f(2) = a(2)^3 + b(2) + 4 = 36 \\ f'(2) = 3a(2)^2 + b = 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 8a + 2b = 32 \\ 12a + b = 0 \end{cases}

Simplificamos la primera ecuación dividiendo entre 2 para obtener 4a+b=164a + b = 16. De la segunda ecuación despejamos b=−12ab = -12a y sustituimos en la primera:

4a + (-12a) = 16 \Rightarrow -8a = 16 \Rightarrow a = -2

Una vez hallado el valor de aa, calculamos bb:

b=−12(−2)=24b = -12(-2) = 24

Los valores buscados son a=−2a = -2 y b=24b = 24.

b) Para a=4a = 4 y b=−3b = -3, estudie la monotonía de ff y determine sus extremos relativos.

Sustituyendo los valores, la función y su derivada resultan:

f(x)=4x3−3x+4;f′(x)=12x2−3f(x) = 4x^3 - 3x + 4 \quad ; \quad f'(x) = 12x^2 - 3

Para estudiar la monotonía, buscamos los puntos críticos igualando la primera derivada a cero:

12x2−3=0⇒x2=312=14⇒x=±1212x^2 - 3 = 0 \Rightarrow x^2 = \frac{3}{12} = \frac{1}{4} \Rightarrow x = \pm \frac{1}{2}

Estudiamos el signo de f′(x)f'(x) en los intervalos definidos por estos puntos:

Intervalo (−∞,−1/2)(-\infty, -1/2): Tomamos x=−1x = -1, f′(−1)=12(−1)2−3=9>0f'(-1) = 12(-1)^2 - 3 = 9 > 0. La función es creciente.Intervalo (−1/2,1/2)(-1/2, 1/2): Tomamos x=0x = 0, f′(0)=−3<0f'(0) = -3 < 0. La función es decreciente.Intervalo (1/2,+∞)(1/2, +\infty): Tomamos x=1x = 1, f′(1)=12(1)2−3=9>0f'(1) = 12(1)^2 - 3 = 9 > 0. La función es creciente.

Calculamos las ordenadas de los extremos relativos:Máximo relativo en x=−1/2x = -1/2: f(−1/2)=4(−1/8)−3(−1/2)+4=−0,5+1,5+4=5f(-1/2) = 4(-1/8) - 3(-1/2) + 4 = -0,5 + 1,5 + 4 = 5. El punto es (−1/2,5)(-1/2, 5).Mínimo relativo en x=1/2x = 1/2: f(1/2)=4(1/8)−3(1/2)+4=0,5−1,5+4=3f(1/2) = 4(1/8) - 3(1/2) + 4 = 0,5 - 1,5 + 4 = 3. El punto es (1/2,3)(1/2, 3).

c) Para a=4a = 4 y b=−3b = -3, calcule la función F(x)F(x) que verifica F′(x)=f(x)F'(x) = f(x) y F(2)=10F(2) = 10.

Calculamos la primitiva general de la función f(x)f(x) mediante la integración:

F(x)=∫(4x3−3x+4) dx=x4−32x2+4x+CF(x) = \int (4x^3 - 3x + 4) \, dx = x^4 - \frac{3}{2}x^2 + 4x + C

Determinamos la constante CC imponiendo la condición F(2)=10F(2) = 10:

F(2)=24−32(2)2+4(2)+C=10F(2) = 2^4 - \frac{3}{2}(2)^2 + 4(2) + C = 10
16−6+8+C=10⇒18+C=10⇒C=−816 - 6 + 8 + C = 10 \Rightarrow 18 + C = 10 \Rightarrow C = -8

Por lo tanto, la función buscada es:

F(x)=x4−32x2+4x−8F(x) = x^4 - \frac{3}{2}x^2 + 4x - 8