T2: Interacción electromagnética

Magnetismo

Teoría

2017 · Extraordinaria · Titular

2A-a

a) Un electrón, un protón y un átomo de hidrógeno penetran en una zona del espacio en la que existe un campo magnético uniforme perpendicular a la velocidad de las partículas. Dibuje la trayectoria que seguiría cada una de las partículas y compare las aceleraciones de las tres.

Fuerza de LorentzTrayectoria circularCampo magnético

a) Análisis de las trayectorias y aceleraciones de las tres partículas en un campo magnético uniforme.

Fundamento teórico: Fuerza de Lorentz

Cuando una partícula cargada se mueve con velocidad $v$ perpendicular a un campo magnético $B$ , experimenta la fuerza de Lorentz:

F = qvB

Esta fuerza actúa siempre perpendicular a la velocidad, por lo que la partícula describe una trayectoria circular de radio:

r = \frac{mv}{qB}

Análisis de cada partícula

Tomemos el campo magnético $\vec{B}$ entrante en la pantalla y la velocidad inicial $\vec{v}$ hacia la derecha. Las cargas y masas relevantes son:

Electrón: carga

q_e = -e = -1{,}6 \times 10^{-19}

C, masa

m_e = 9{,}11 \times 10^{-31}

kg.Protón: carga

q_p = +e = +1{,}6 \times 10^{-19}

C, masa

m_p = 1{,}67 \times 10^{-27}

kg.Átomo de hidrógeno neutro: carga neta

q = 0

, masa

m_H \approx m_p = 1{,}67 \times 10^{-27}

kg.

Trayectorias

Electrón (carga negativa): La fuerza de Lorentz sobre el electrón es $\vec{F} = q_e(\vec{v} \times \vec{B})$ . Con $\vec{v}$ hacia la derecha y $\vec{B}$ entrante, $\vec{v} \times \vec{B}$ apunta hacia arriba, pero como $q_e < 0$ , la fuerza resultante apunta hacia abajo. El electrón describe una circunferencia curvándose hacia abajo. Su radio es muy pequeño por su escasa masa:

r_e = \frac{m_e v}{eB} \quad (\text{radio muy pequeño})

Protón (carga positiva): La fuerza de Lorentz es $\vec{F} = q_p(\vec{v} \times \vec{B})$ , que apunta hacia arriba. El protón describe una circunferencia curvándose hacia arriba. Su radio es mucho mayor que el del electrón por su mayor masa:

r_p = \frac{m_p v}{eB} \quad (\text{radio mucho mayor que } r_e, \text{ pues } m_p \gg m_e)

Átomo de hidrógeno neutro (carga neta = 0): No experimenta ninguna fuerza magnética ( $F = qvB = 0$ ). Sigue una trayectoria rectilínea uniforme, sin desviarse.

Comparación de aceleraciones

La aceleración centrípeta de cada partícula cargada viene dada por la segunda ley de Newton aplicada a la fuerza magnética:

a = \frac{F}{m} = \frac{qvB}{m}

Para el electrón:

a_e = \frac{evB}{m_e}

Para el protón:

a_p = \frac{evB}{m_p}

Comparando ambas aceleraciones (con la misma velocidad $v$ y campo $B$ ):

\frac{a_e}{a_p} = \frac{m_p}{m_e} = \frac{1{,}67 \times 10^{-27}}{9{,}11 \times 10^{-31}} \approx 1836

La aceleración del electrón es aproximadamente 1836 veces mayor que la del protón (aunque ambos tienen la misma carga, la masa del electrón es mucho menor). A pesar de esta enorme aceleración, el radio del electrón es 1836 veces más pequeño que el del protón.Para el átomo de hidrógeno neutro, la fuerza magnética es nula, por lo que su aceleración debida al campo magnético es $a_H = 0$ . Sigue moviéndose en línea recta con velocidad constante.

Resumen

Electrón: trayectoria circular de radio muy pequeño, curvado en sentido opuesto al protón (hacia abajo si

\vec{B}

es entrante y

\vec{v}

hacia la derecha). Aceleración:

a_e = evB/m_e

(muy grande).Protón: trayectoria circular de radio grande (1836 veces mayor que el del electrón), curvado hacia arriba. Aceleración:

a_p = evB/m_p

(1836 veces menor que la del electrón).Átomo de hidrógeno: trayectoria rectilínea uniforme sin desviación. Aceleración:

a_H = 0